چه بسا كه دربارهء هندسهء اقليدس مثلا و يا هرمبناى استنباطى ديگر گفته شود كه مطالب نظرى آن ، نتيجهء مقدّمات بديهى است و بديهيّات نيازى به برهان ندارند زيرا آنها به خودى خود واضحاند و بالضرورة صادق هستند با اينكه واضح بودن چيزى به خودى خود امرى است نسبى كه بعلم سابق ما بستگى دارد . . . ولى از ديدگاه منطق ميتوانى صحّت اينعلم سابق را نپذيرى و در نتيجه ، بداهتى كه پنداشته شده است از امور واضحهء بالذات نخواهد بود فلذا قرنهاى متمادى ، هندسهء اقليدس بر مبناى بديهيّاتى فرض ميشد كه ذاتا واضحاند يعنى آنچنان صادقند كه هيچ شكّ و ترديدى نميتواند بر آن راه يابد ولى امروز روشن شده است كه اين گمان بخطا بوده است و مبانى هندسهء غير اقليدس روشن ساخت كه ميتوان قواعد هندسى را براساس بديهيّاتى بجز بديهيّات اقليدس بنا نهاد و به نتيجههائى رسيد كه با نتيجههاى اقليدس اختلاف داشته باشد . « 1 »
بررسى وضع منطق وضعى
نظرات ما در اين قسمت از قضاياى رياضى بشرح زير است :
اولا : اگر فرض كرديم كه قضاياى رياضى محض ، همگى تكرارى است آيا اين فرض ، در حلّ اشكال و اينكه بتوانيم فرق ميان قضيّهء رياضى و قضاياى علوم طبيعى را براساس منطق تجربى تفسير كنيم كافى خواهد بود ؟
جواب ، منفى است زيرا ما حق داريم كه از منطق تجربى بخواهيم تا ضرورت و يقين را در قضاياى تكرارى براى ما تفسير كند .
براى نمونه : قضيّهء تكرارى كه ميگويد ( أ ) همان ( أ ) است يقين به اين قضيّه ، به آن برميگردد كه ما قانون عدم تناقض را قبول داريم قانونى كه ميگويد ( محال است كه نفى و اثبات در يكجا با هم باشند ) زيرا اگر ما چنين قانونى را نپذيريم امكان آن خواهد بود كه ( أ ) همان ( أ ) نباشد زيرا ( أ ) بودن ( أ ) فقط بر همين اساس
هامش
( 1 ) منطق وضعى 325