اشكال 1
ممكن است به سخن گذشته خرده گرفته و بگويند سير روزانهاى كه علم با فرضيههاى موقتى مىنمايد ناقض اين نظريه مىباشد زيرا هر رشتهء علمى
شرح
كه در رياضيات به كار مىرود با تعميمى كه در علوم فيزيك و شيمى اعمال مىشود يك فرق اساسى موجود است بدين قرار كه تعميم رياضى به عكس تعميم علوم تجربى از راه تجربه حاصل نمىشود ؛ مثلًا وقتى حكمى را كه به وسيلهء برهان درباره مثلثABCثابت كردهايم درباره تمام مثلثها تعميم مىدهيم به هيچ وجه تجربه در اين تعميم دخالت ندارد و حال آنكه به وسيلهء تجربه است كه مطلع مىشويم كه در مقابل حرارت ، يك فلز و دو فلز و سه فلز و بالاخره تمام فلزات منبسط مىشود . »
حقيقت اين است كه در استدلالات رياضى « تعميم » به معناى سير از جزئى به كلى يا از « كمتر كلى » به « كلى وسيعتر » نيست زيرا آن چيزى كه ذهن را در مسائل رياضى ملزم به قبول مىكند صرفاً برهان رياضى است و بالضروره هيچ برهان رياضى اختصاص به مورد معين ندارد و اگر مورد معين - مثلًا مثلثCBA- را مورد اعمال برهان رياضى قرار مىدهيم صرفاً براى تفهيم و روشن ساختن مفاد برهان بر ذهن است و لهذا اگر ذهن بتواند مفاد يك برهان رياضى را بدون مراجعه به مورد خاص تصور كند فوراً ملزم به قبول مىشود و به عبارت ديگر عامل اذعان و الزام ذهن به قبول مفاد كلى برهان همان خود برهان است و بس ، چيزى كه هست اين است كه در مورد هر اذعان و حكمى لازم است كه ذهن قضيهء مفروضه را به طور وضوح تصور كند تا بتواند به آن اذعان داشته باشد . احتياج به موارد خاصه در مسائل رياضى براى تصور مفاد برهان است نه براى تصديق به آن .
مشار اليه سپس در مقام فرق بين استقراء و استدلال قياسى و برهان رياضى چنين مىگويد :
« به وسيلهء همين مطلب اساسى است كه بايد بين « قياس » كه در آن تجربه دخيل نيست و « استقراء » كه مبتنى بر تجربه است امتياز گذاشت و تعريفى را كه معمولًا از قياس مىكردهاند ( استدلالى كه در آن ذهن از يك قضيهء كلى به قضيهاى كه كمتر