الثلاثة بواحد ، ومربع الثلاثة تسعة ، ولهما من الأجزاء جز آن تسع وثلث ، ومجموعهما مساو للأربعة ، وأيضا الستة تزيد على الفرد الأول بواحد وذلك الفرد الأول خمسة ، ومربع الفرد الأول خمسة وعشرون ، وله من الأجزاء خمس وخمس خمس لا غير ومبلغه ستة ، فإن كان الزوج بحيث إذا نقص منه ثلاثة بقي فرد أول ، فإن ذلك الزوج مركب من أجزاء ضعف ذلك الفرد مثل الثمانية فإنها إذا نقص منها ثلاثة بقي خمسة وضعفها عشرة ولها نصف وخمس وعشر ، مجموع ذلك ثمانية ، أعنى مجموع الخمسة والاثنين والواحد .
فلنتكلم الآن في خواص أنواع الزوج وأنواع الفرد . ولنبدأ بخواص أنواع الزوج فإن تنويعها أقرب إلى أن يكون تنويعا فصل من تنويع أنواع الفرد . ولنبدأ بخواص زوج الزوج فهو أبسط ، وقد علمت كيفية إنشائه على سبيل التضعيف وخواص أخرى مما هي له في كتاب الاسطقسات : فمن خواص زوج الزوج ما هو فرع خواص ذكرت في الاسطقسات وأنه لا جزء له سمى العدد الفرد أو زوج غير زوج الزوج ولا زوج زوج أقل منه إلا وهو بعده ، وكل زوج زوج فمربعه زوج الزوج ، وإذا نقص منه الزوج الأول وهو اثنان خرج زوج الفرد كالثمانية تنقص منه الاثنان فيخرج زوج الفرد وهو ستة ، وكل زوج زوج فهو ناقص ونقصانه بواحد .
ومن خواص زوج الزوج أن مراتبه تتتالى على نسبة متشابهة هندسية إذا كانت تتوالى على التضعيف ، فلا تكون تفاضلها بمتساو بل يكون كل فضل مساويا للمفضول عليه ، ويكون الفضول متفاضلا فيما بينها ذلك التفاضل بعينه . ويلزم من وقوع مراتبها على النسبة الواحدة أن تكون متناسبة إذا قطعت ومتناسبة إذا ردت إلى المساواة .
فيلزم أن يكون مضروب أي واسطة أخذت في نفسها كمضروب إحدى الحاشيتين في الأخرى ، إذ نسبه الحاشية الصغرى إلى الواسطة تكون كنسبة الواسطة إلى الحاشية الأخرى ، ويلزم أن يكون مضروب إحدى الواسطتين في الأخرى كمضروب إحدى الحاشيتين في الأخرى ، لأن نسبة الحاشية الصغرى إلى الواسطة الصغرى كنسبة الواسطة الكبرى إلى الحاشية الكبرى . ولتكن المراتب : اثنان أربعة ثمانية ستة عشر اثنين وثلاثين أربعة وستين ، فتجد أربعة في نفسها كاثنين في ثمانية ، وثمانية في نفسها كاثنين في اثنين وثلاثين ، وأربعة في ستة عشر ، ونجد أربعة في ثمانية كاثنين في سته عشر ، وثمانية في ستة عشر كأربعة في اثنين وثلاثين واثنين في أربعة وستين .
الشفاء ( الرياضيات ) — صفحة الرياضيات الحساب 27
مساهمون: أبو علي سينا
صالرياضيات الحساب ٢٧