كل أعداد فيهما تفاضل بمتساو ، فلذلك توجد بهذه الخاصية أيضا في نظام مراتب أزواج الفرد فهذه مشاركة وجب أن نعدها قبل الحوض فيها .
فلنتجرد الآن لذكر الخواص ولنبدأ بخواص الفرد فنقول إنها الخواص المعلومة المذكورة من أنها لا تتركب عن أزواج ألبنة ولا عن أفراد بعد زوج ، ولا يوجد فيها من جنسها عدد يعنى ما بعده من جنسها ولا يوجد فيها من جنس « 1 » مقابلها عدد يعنى ما بعده من جنسها وما جرى مجرى هذه الخواص . فلنقتصر على ما قيل في كتاب لاسطقسات ، ولنذكر من خواصها خواص تتعلق بنظام متتالياتها على الولاء ، فمن خواصها أن مجموعها من الواحد على الولاء يكون مربعا أبدا ، مثل الواحد والثلاثة ، ثم الواحد والثلاثة والخمسة ، ثم الواحد والثلاثة والخمسة والسبعة ، ثم الواحد والثلاثة والخمسة والسبعة والتسعة . « 2 » ومن خواصها أن كل مربع من هذه فضلعه عدد المراتب ، مثل الأربعة فهو مجموع مرتبتين فجذرها اثنان ، والتسعة فهو مجموع ثلاث مراتب ، فجذرها ثلاث . ومن خواصها أنك إذا أردت أن تعرف مبلغ عدد يقع في مرتبة معلومة من الواحد مثلا كالعاشرة والحادية عشر وغير ذلك ، فاضرب عدد المرتبة ولتكن العاشرة ، وعددها عشرة في اثنين فيكون عشرين ، فأنقص منه واحدا فيكون تسعة عشر فهو عدد المرتبة العاشرة .
وأما حال الواسطة والواسطتين مع الحاشيتين فهو على ما علمت ، « 3 » ومن خواصه أن كل واحد من الآحاد يرجع فيه سادسه ، مثاله أن الواحد يرجع في السادس وهو الحادي عشر ، ثم بعد السادس وهو الواحد والعشرون ، والثلاثة يرجع في السادس « 4 » وهو الثالث عشر وكذلك إلى غير نهاية .
ومن خواصه أن كل فرد أول إذا تخطى على عدته انتهى إلى مركب ، مثل الثلاثة فإن الثالث منه وهو تسعة مركب ، والخمسة فإن الخامس منه وهو خمسة عشر مركب .
وخاصة أخرى أن أول الأعداد الغير المركبة وهو ثلاثة يؤدى بالتخطى الأول إلى مجذور ثم لا يؤدى إلى غير نهاية ، والثاني وهو الخمسة يؤدى بالتخطى الثاني إلى مجذور عند خمسة
هامش
( 1 ) جنس : ساقطة ( د ) .
( 2 ) ثم الواحد والثلاثة والخمسة والسبعة ثم الواحد والثلاثة والخمسة والسبعة والتسعة : ساقطة من ( ب ) ويوجد بدلها ثم السبعة والتسعة .
( 3 ) على ما علمت . على ما عملت وما سلف ( سا ) .
( 4 ) وهو الحادي عشر ثم بعد السادس وهو الواحد والعشرون ، والثلاثة يرجع في السادس :
ساقطة في ( سا ) - وكذلك : وكذلك إلى غير نهاية ( ب ) .