ومن الخواص المتعلقة بالجمع أن كل أعداد متتالية ليست تتالى الزيادات بالآحاد بل بالاثنوات والثلاثيات أو غير ذلك بعد أن يستمر على سنن واحد ، وليكن ابتداؤها من حيث كان فإن مضروب عدد المراتب منقوصا منه واحد في العدد الذي يقع به التفاضل كالاثنوة والثلاثية أو غير ذلك مما تتفاضل به المراتب مزيدا عليه العدد المبتدأ منه مساويا للعدد الأخير ، فإن زيد مرة أخرى وضرب في عدد المراتب كما هو كان مثل ضعف جملة مجموع الأعداد ، ومثاله لو قال لك قائل خمسة أعداد متتالية تبتدىء من الأربعة وبين كل عددين ثلاثة حتى يكون التفاضل بأربعة أربعة ، ما آخرها وكم مجموعها ؟ فإذا نقصت واحدا من الخمسة حتى حصل لك أربعة ، فضربته في عدد التفاضل وهو أربعة كان ستة عشر ، فإذا زدت عليها أولها كان عشرين ، فقد خرج لك العدد الأخير . لأن مراتب الأعداد تكون أربعة ثم ثمانية ثم اثنى عشر ثم ستة عشر ثم عشرين ، « 1 » فإذا زدت على عشرين أربعة أيضا كان أربعة وعشرين ، فإن شئت اضربه في خمسة فيكون مائة وعشرين فخذ نصفه فهو مجموع المراتب ، وإن شئت اضرب نصفه في المراتب أو جميعه في نصف المراتب ، وكيفما يعمل فهو جواب المسألة .
ومن الخواص المتعلقة بالجمع أن كل أعداد متتالية تبتدىء من الواحد ، إذا جمعت مبتدأة من الواحد إلى آخرها ، ثم مرجوعا من آخرها إلى الواحد ، مثل واحد ، اثنين ، ثلاثة ، أربعة ، ثلاثة ، اثنين ، واحد فمجموعها مساو لمربع العدد الأخير « 2 » فان مجموع ما مثلنا به ستة عشر . وتحصيل هذا أن ضعف مجموع الأعداد التي دون المرتبة الأخيرة مع الذي في المرتبة الأخيرة مساو لمربع العدد الأخير .
ومن الخواص المتعلقة بالجمع أنك إذا جمعت أعدادا متوالية من الواحد ، فالمجموع الأول مثل ونصف العدد الأخير ، والمجموع الثاني ضعف العدد الأخير ، والمجموع الثالث ضعف ونصف العدد الأخير ، والمجموع الرابع ثلاثة أضعاف العدد الأخير ، والمجموع الخامس ثلاثة أضعاف ونصف العدد الأخير ، وكذلك إلى غير نهاية . مثاله واحد ، اثنان ، فإنه مثل ونصف الاثنين وواحد ، اثنان ، ثلاثة ، فإنه ضعف ثلاثة ، وواحد ، اثنان ثلاثة ، أربعة ، فإنه ضعف ونصف الأربعة ، وواحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ، خمسة . فإنه ثلاثة أضعاف خمسة ، وواحد ، اثنان ، ثلاثة ، أربعة ، خمسة ، سته ، فإنه ثلاثة أضعاف ونصف سته .
هامش
( 1 ) ثم عشرين : ساقطة من ( د ) .
( 2 ) العدد الأخير : العدد ساقطة ( سا ) ، ( ب ) .