وأيضا فان كل أعداد متوالية نجمعها بهذا الجمع ، فإن المجموع الأول يكون مثل العدد الذي يتلوه والمجموع الثاني مثل ونصف للعدد الذي يتلوه والمجموع الثالث ضعف العدد الذي يتلوه ، وكذلك إلى غير النهاية مثاله أن الواحد والاثنين مثل ثلاثة ، والواحد والاثنان والثلاثة مثل ونصف أربعة ، فإن زدت أربعة كان ضعف خمسة . وإن زدت خمسة كان ضعف ونصف ستة . « 1 »
ومن الخواص المتعلقة بالجمع أنك إذا جمعت « 2 » أفرادا متوالية مبتدأة من الواحد وجمعت بعدها أزواجا متتتالية من الاثنين بعددها ، فإن المجموع الأول من الأزواج يكون مثل ونصف المجموع الأول من الأفراد ، والمجموع الثاني مثل وثلثه ، والمجموع الثالث « 3 » مثل وربعه ، ويكون كل مجموع زائدا ، وسمى عدد مراتبه ، ويكون عدده عدد مراتبه ، مثاله الاثنان والأربعة تزيد على الواحد ، والثلاثة نصفه فإن زدت هناك ستة وها هنا خمسة ، يصير مثل وثلث هذا ، « 4 » ولنعد الآن إلى إيراد خواص أول قسمي العدد من حيث كيفية انقسامه إلى متساويين وغير متساويين ، وهو الزوج والفرد ، ولنورد ما نصرح به من كتاب الاسطقسات ، وقد تجرى بينهما مشاركة مستفادة من جنسهما ، وذلك فيما تتتالى من الأفراد والأزواج تثاليا طبيعيا إلى أنواع العدد ، وذلك كله أن تكون المراتب متفاضلة بتفاضل واحد ، أما تفاضل التتالى الطبيعي لأنواع العدد فبالواحد ، وأما تفاضل الأفراد والأزواج المتتالية بالطبع فباثنين اثنين إذا كان كل فرد إذا زيد عليه واحد صار زوجا ، ثم إذا زيد عليه واحد آخر صار فردا ، ثم إذا زيد عليه واحد آخر صار زوجا ، فيكون بين الفرد والفرد الذي يليه اثنان ، وبين الزوج والزوج الذي يليه اثنان ، فيجب أن يكون كل وسط في مراتب الأفراد التي على الولاء الطبيعي ، ومراتب الأزواج الذي على ذلك الولاء مثل نصف مجموع أي حاشيتين كانتا لأنهما حاشيتا تلك الواسطة بعينها في النظام الطبيعي للعدد ، وكل واسطتين مجموعتين مثل كل حاشيتين مجموعتين ، لأن تلك الواسطتين تكونان حاشيتين للعدد الواقع في النظام للعددين بينهما ، فيجب أن يساوى مجموعهما مجموع تلك الحاشيتين الأخريين على ما سلف بيانه ، وليست هذه الحال جارية بين الأفراد المتتالية والأزواج المتتالية فقط ، بل بين
هامش
( 1 ) وإن زدت خمسة كان ضعف ونصف ستة .
( 2 ) ومن الخواص المتعلقة بالجمع أنك إذا جمعت : ساقطة في ( د ) .
( 3 ) الثالث : الرابع ( ب ) .
( 4 ) وها هنا خمسة يصير مثل وثلث هذا : ساقطة في ( د ) .