طورى حركت كند كه خط ( ج - د ) از موازى بودن با خط ( الف - ب ) خارج گردد ومسامت با أو قرار گيرد « 1 » . بناچار در اين حركت ، در خط ( الف - ب ) نقطهاى حادث مىشود كه آن اولين نقطهاى است كه مسامتات بران واقع مىشود « 2 » . واين امر در خط غير متناهي محال است « 3 » . زيرا هيچ نقطهء در آن نيست مگر اينكه بالاتر از آن نيز نقطه ديگرى است كه آن ممكن است أول باشد وهمين طور « 4 » حصول مسامتت با نقطههاى بالائى قبل از مسامتت با نقطههاى زيرين است « 5 » .
زيرا اگر ما خط ( ج - د ) را بخط ( الف - ب ) وصل نمائيم زاويهاى كه با نقطههاى فوقانى حاصل مىشود حادهتر خواهد بود از زاويهاى كه از نقطههاى تحتانى حاصل مىشود واين خود روشن است .
پس محال است كه نخستين نقطه مسامتت در آن حاصل شود در حالي كه بالالزام بهنگام خروج خط از موازات به مسامتت بايد نخستين نقطه مسامتات حادث گردد واين تناقض خواهد بود .
ولكن هر آنچه ما در مقدمات اين برهان ايراد كرديم از قبيل فرض كره ، حركت كره ، خروج خط متناهي از مركز كره كه موازى با خط ديگر باشد همه درست
هامش
( 1 ) - از موازات بدر آيد وهم سمت شود .
( 2 ) - چون در حركت از موازات به مسامتت ناچار بايد از مرز موازات كه خارج شد ، نخستين نقطه مسامتت حاصل شود والا مسامتت حاصل نشده است .
( 3 ) - زيرا أول ندارد واگر أول فرض شود متناهي است .
( 4 ) - خلاصه اگر أول در آن فرض شود متناهي است وبا فرض نامتناهى بودن . فرض أول يا دوم در أو محال است .
( 5 ) - وهمين طور بازهم بالاتر از آن نقطه ، نقطههاى ديگر فرض مىتوان كرد وگفت مسامتت با آنها ، قبل از اينهاست وهمين طور . . . پس مسامتت حاصل نمىشود .