حلّ ايراد
گوئيم در اثبات اين روش ودرين تطبيق نيازى بحركت خط نداريم وبلكه تطبيق بر همان صورت كه يادآور شديم خود حاصل مىگردد « 1 » باينكه در وهم خود مقابل هر جزئي از اجزاء خط ، جزء ديگرى در طرف متناهي فرض كنيم ودر فرض وهمى محال وجود ندارد « 2 » .
پس از اين فرض برهان بر أساس آن قرار مىگيرد چنانكه گفتيم كه هرگاه اين مقابلات بطور دائم « 3 » وبطور بينهايت حاصل شود لازم آيد كه ناقص عين زائد باشد واين محال است . يا اينكه ناقص در طرف ديگر بريده مىشود ، پس لازم آيد متناهي باشد وفزونى آن خط كه زائد بر متناهي است باندازهء متناهي است « 4 » . پس كل آن هم متناهي است وبدين ترتيب اين برهان بهمان صورت كه ذكر كرديم كامل است وخدا داناتر است .
« برهان موازات »
صورت برهان : ما را رسد كه در بعد [ نا ] متناهي خطى نامتناهى فرض نمائيم وآن را خط ( الف ، ب ) نام نهيم وآنگاه كرهء را فرض كنيم كه از مركز آن خطى خارج گردد موازى با آن خط نامتناهى وآن را خط ( ج ، د ) بناميم در اين صورت اگر آن كره
هامش
( 1 ) - بدون حركت خط در خارج كه نياز به فراغ وخلاء داشته باشد .
( 2 ) - چون نياز به بعد وخلاء ندارد وهر چه را خواهد ميتواند فرض نمايد .
( 3 ) - مقابلات اجزاء دو خط بر يكديگر در وهم .
( 4 ) - آن خط زائد چه مقدار فزونى دارد ، باندازه همان يك ذراع پس زيادت أو متناهي است بنابراين كل آن متناهي است .