مثلا هرگاه ، بعد بين آن دو يك ذراع باشد ، امتداداند ونيز يك ذراع باشد وسومين بر دومين ، همان اندازه فزونى يابد « 1 » وهمين طور چهارم بر سوم هر اندازه فزون باشد امتدادات نيز فزون گردد « 2 » .
واگر اين تناسب در جهت افزايش محفوظ باشد وهمين طور بىنهايت با حفظ اين نسبت بجلو بروند لازم آيد كه همواره بعد بالاتر شامل همه ابعاد مادون خود باشد ودر اين صورت لازم آيد كه ممكن باشد بعدى حاصل شود كه شامل همه ابعاد نامتناهى شود « 3 » ، زيرا اگر اين فرض ممكن نباشد كه ابعاد نامتناهى در يك بعد حاصل نباشد نقيض آن درست خواهد بود وآن اينكه ممكن خواهد بود كه در بعد واحد ابعاد متناهي ومحدودى از آن ابعاد غير متناهي يافت شود « 4 » . ولازم آيد در اينجا دو امتداد پايان يابد وبريده شود زيرا اگر بازهم با اين فرض امتداد يابد لازم آيد كه ممكن باشد كه ابعاد زيادتر از آنچه ممكن نيست ، در بعد واحد يافت شود « 5 » يعنى همان ابعاد محدوده « 6 » واين خلاف فرض است .
هامش
( 1 ) - هر اندازه بدو امتداد اضافه مىشود به فاصله بين آن دو هم همان اندازه اضافه شود .
اگر هر يك از دو امتداد ده ذراع باشد آخرين فاصله كه سرده ذراع است بازهم ده ذراع باشد .
( 2 ) - أصل وعكس قضية درست است ، هر اندازه به فاصله اضافه شود ، به امتداد اضافه مىشود وبالعكس .
( 3 ) - وآن آخرين بعد فرضى است .
( 4 ) - استدلال از طريق برهان خلف است ، گويد اگر بعد نهايى مفروض ممكن نباشد كه شامل ابعاد نامتناهى باشد خلاف آن درست است كه ممكن باشد شامل يك مقدار از ابعاد نامتناهى باشد درحالىكه گفته شد در تزايد تصاعدى نسبت محفوظ است وهر بعد بالاتر شامل همه ابعاد پائينتر است .
( 5 ) - چون نقيض قضية أول اين بود كه در بعد واحد بجز ابعاد متناهي ممكن نخواهد بود ، حال اگر گفته شود با اين وصف بازهم امتداد يابد تناقض خواهد بود .
( 6 ) - كه گفته شد بيش از آن ممكن نيست ، پس لازم آيد هر چه امتداد يابد باز متناهي باشد واين خلاف فرض است ، لكن مطلوب ما حاصل است .