اما آن كه گفته ايم چهار زاويه معادل با 360 درجه است بدينجهت است كه هر گاه محل تقاطع خطين را كه راس زواياى چهار گانه است ، مركز دائره اى قرار دهيم و به بعد هر يك از چهار خط حادث شده بعد از تقاطع ، و يا اطول و يا اقصر از آن دائره اى چون دائره و رح رسم كنيم ، قوس مقابل هر يك از آن زوايا مقدر آن خواهد بود زيرا كه زواياى مركزى اند و در پايان درس دوم اشارتى بدان شده است ، لاجرم مجموع قسى مقدر چهار زاويه يكدائره كامل و رح مثلا خواهد بود .
و آن كه گفته ايم دو زاويه متقابل براس مساوى يكديگرند ، برهانش اين كه : زاويه ا ب ه بعلاوه زاويه ا ب د / 2 قائمه ، و همچنين زاويه د ب ح بعلاوه زاويه د ب / 2 1 قائمه ، و زاويه ا ب د مشترك بين آن دو است پس بعد از القاء زاويه مشترك ، زاويه ا ب ه و زاويه د ب ح باهم متساوى خواهند بود . و على هذا القياس آن دو زاويه متقابل برأس ديگر كه ا ب د ، ه ب ح بوده باشند . يعنى ا ب د بعلاوه ا ب ه / 180 و ا ب ه بعلاوه ه ب ح 180 / پس بعد از القاء ا ب ه مشترك ، ا ب د / ه ب ح .
و بوجهى ديگر هر گاه توهم دوران خط ا ب ح مثلا بشود كه با خط ب ه منطبق گردد ، در همين مقدار دوران خط ا ب خط ب ح نيز با خط ب د منطبق خواهد شد ، پس دو زاويه ا ب ه ، د ب ح باهم مساوى خواهند بود .
ب هر گاه خط مستقيمى بر دو خط مستقيم ديگر واقع شود ، يعنى آن دو را قطع كند كه دو زاويه متبادله از زواياى پديد آمده متساوى باشند ، آن دو خط مستقيم متوازى خواهند بود . اين قضيه هندسى شكل 27 مقاله نخستين اصول اقليدس است ( اولى الاصول ) و عبارت آن بتحرير خواجه طوسى اين است :
كل خطين وقع عليهما خط ، و كانت المتبادلتان من الزوايا الحادثة متساويتين فهما متوازيان ، الخ .
و نيز هر گاه دو خط مستقيمى ، خط مستقيم ديگر بر آن دو واقع شود يعنى آن دو را قطع كند كه زاويه خارج از زواياى حادث مساوى با زاويه داخل مقابل خود بوده باشد ، يا دو زاويه داخله در يك جهت معادل دو قائمه باشند ، باز آن دو
دروس هيئت و ديگر رشته هاى رياضى (فارسى) — صفحة 382
مساهمون: حسن حسن زاده آملى
ص٣٨٢