المسدس ، وعكسه أن يزاد واحد على عدد المثلث ويؤخذ نصفه ، وكل عدد مخمس فإنه ونصف ما يجتمع من ضرب عدد أنقص من مرتبته واحد في التفاضل بين الأعداد التي تنشأ منه ، وهو ثلاثة مزيدا عليه ما بين عددين من ذلك وهو اثنان ، مضروبا في عدد مرتبته من المخمسات العددية ، مثاله إذا أردت أن تعلم المخمس الرابع ضربت ثلاثة وكان تسعة ، وزدت عليه اثنين فكان أحد عشر ضربته في أربعة وكان أربعة وأربعين أخذت نصفه فكان اثنين وعشرين هو المخمس الرابع ، وأيضا فإن كل مخمس فإنه مثل مضروب عدد مرتبته محسوبا من الواحد في نفسه مزيدا عليه نصف ضلعه بمرار في المخمسات العددية ، مثاله في المسألة المذكورة بضرب أربعة في أربعة لأنه في المرتبة الرابعة من الواحد فيكون ستة عشر ، وتزيد عليه نصف ضلعه وهو اثنان ثلاث مرات فيكون اثنين وعشرين .
وبعد المخمسات المسدسات ، وتتألف من جميع الأعداد المتفاضلة بأربعة أربعة على قياس ما قيل في المخمسات ، ثم المسبعات ويتألف من جمع الأعداد المتفاضلة بخمسة خمسة ، ثم المثمنات وتتألف من جميع الأعداد المتفاضلة بستة ستة . ونقول إن كل سطح بعد المربع إذا جمع مع المثلث حدث السطح الذي يلي ذلك السطح في عدد الضلوع ، مثل المثلث الأول وهو ثلاثة إذا جمع مع المربع الثاني كان مخمسا ، وإن جمع مع المخمس الثاني وهو اثنى عشر كان مسدسا وهو الخمسة عشر ، وعلى هذا الترتيب : وفضل كل مسطح على الذي قبله مثلث ، وقد اتفق ولا ينعكس .
وكل عدد تام فهو مسدس أو مثلث ، وسيكون من هذا سبيل يتوصل به إلى استخراج ترتيب الأعداد التامة أيضا ، فإذا قيل لك العدد التام الأول من أي المسدسات أو المثلثات « 1 » هو ، فانظر إلى القانون الذي عرفته في هذا الوجه خاصة فتجد أول زوج يعتبر فيه القانون المعلوم هو أربعة ، فيستخرج على ما علمت وتنصف أربعة فيكون اثنين فقل هو المسدس الثاني ، ويلي الأربعة ثمانية وتجد السبعة كذا أولا فيصلح لمطلوبك فينصف الثمانية فيكون أربعة فقل هو المسدس الرابع والمثلث السابع ، يلي الثمانية ستة عشر فإن نقصت منه واحدا بقي مركب فلا يصلح لعملك ويلي الستة عشر اثنين وثلاثين فإن نقصت منه واحدا بقي عدد أول فيصلح لعملك فخذ نصفه وهو ستة عشر فقل المسدس السادس عشر والمثلث الحادي والثلاثون وعلى هذا القياس .
هامش
( 1 ) المثلثات : المخمسات ( د ) وهو دطأ .