سقط منه كعبه فيكون الباقي سدس صحيح ، وكل مكعب إلا واحد فبعده كعبه إلا واحد وكل واحد وكل مكعب فإن نصفه وضعفه غير مكعب ، وكل مكعب جمع إليه الواحد ومضروب المثلث الذي في مرتبته في ستة أبدا ، فهو الكعب الذي يليه ، فيمكن أن ينشأ من هذه المكعبات .
ومع خواص المكعبات أن امتحانها الذي على عمل الحساب الهندي يكون إما واحدا ؟
وإما ثمانية وأما التسعة ، فإن كان واحدا فآحاد المضلع واحد أو أربعة أو سبعة ، وإن كان ثمانية فثمانية أو اثنان أو خمسة ، وإن كان تسعة « 1 » فثلاثة أو ستة أو سبعة وقد تقسم المضلعات من العدد ، فيقال إن منها ما هو هو هوىّ الطول ، ومنها ما هو غيرى الطول ، ومنها ما هو متباين الطول وهو الذي الخلاف بين طوله وعرضه بما هو فوق واحد . ومن عادة المتكلمين في صناعة العدد أن يوردوا في هذا الموضع وفيما يجرى مجراه كلاما خارجا عن الصناعة ومع ذلك خارجا عن عادة البرهانيين ، وأشبه شئ بقول الخطباء والشعراء ، فليهجر ذلك ، ولغط عليه مستهلة في تسميتهم الطول بالغيرى الطول فيشبه أن يكون أول غيرية يقع بين العدد والعدد هو بواحد ، فيكون هو أصل المخالفة ومبتدأه كما أنه أصل العدد نفسه ، فيكون الأعداد الغيرية الطول هي المتفاوتة بواحد ، والسطوح الغيرية هي التي تحيط بها ضلعان غيريان ، وإذا رسم جدول فرتب فيه الأفراد على تواليها مبتدئة من الواحد في سطر والأزواج على تواليها مبتدئة من الاثنين في سطر يولد من جمع الأفراد على ما علمته الأعداد المربعة ، وتولد من جمع الأزواج الأعداد الغيرية الطول فيتولد من الفردية الهوهوية ومن الزوجية الغيرية على حسب الواحد ، ويبتدئ 1 / 3 / 5 / 7 / 9 / 11 / 13 / 15 / 17 / 19 2 / 4 / 6 / 8 / 10 / 12 / 14 / 16 / 18 / 20 الفيثاغوريون من هذا الموضع في بيان لا محصول له . فإن رتبت المربعات كرة ثانية في سطر والغيريات الطول في سطر ، ظهر من مجاورة السطرين أمور وخواص ، فمن ذلك أنك بجداول الغيريات على نسبة الضعف من أول المربعات وهو الزائد مثلا ، والثاني عند الثاني على نسبة الزائد نصفا ، والثالث عند الثالث على نسبة
هامش
( 1 ) وإن كان تسعة : تسعة أو أربعة سا .