ومن خواص المربعات أنك إذا جمعتها من مربع الواحد كان مجموعها أكبر من مربع الأخير بما قبلها من المربعات ، مثاله أن مجموع مربعى الواحد والاثنين يزيد على مربع الاثنين بمربع الواحد ، « 1 » ومربع الواحد والاثنين والثلاثة يزيد على مربع الثلاثة بمجموع مربعى الواحد والاثنين ، وكذلك مع الواحد والاثنين والثلاثة والأربعة يزيد على مربع الأربعة . لمجموع مربعات الواحد والاثنين والثلاثة .
وقد استخدموا « 2 » لإنشاء المربعات طريقا يسمونه المرقص ، وهو أنك إذا ابتدأت من الواحد ، فجمعت ما شئت من المراتب ثم عطفت فنزلت « 3 » جامعا ، فما كان مجموع ذلك فهو مربع ، مثل أن تصعد من الواحد إلى الاثنين فيكون ثلاثة ، ثم تجمع إلى الواحد فيكون أربعة وهي مربع « 4 » أول ، ثم إن جمعت الواحد والاثنين والثلاثة ، فأضفت إليه الاثنين ثم الواحد كان تسعة وهو مربع ثان ، فإن صعدت من الواحد والاثنين والثلاثة والأربعة جامعا ، ثم نزلت فجمعت الثلاثة والاثنين والواحد كان جميع ذلك ستة عشر ، وهو المربع الثالث من المربعات العددية . وتحصيل هذه الطريقة أن مجموع كل أعداد متوالية مع مجموع ما ينقص منه بالمرتبة الأخيرة ، فهو مربع أيضا ضعف مجموع كل أعداد متوالية الا العدد الأخير فهو مربع ، وكل مثلثين متواليين يجمعان من الواحد والثلاثة والثلاثة والستة فهو مربع ، وهذا أيضا إنشاء المربعات ، فيكون كل مربع من مثلث في درجته ومثلث أنقص من درجته بواحد . وكل مربعين يضرب ضلع أحدهما في الآخر بضعف ويجمع إلى المربعين ، فالجميع مربع ، مثل « 5 » مضروب اثنين في ثلاثة إذا جمع ضعفه مع أربعة وتسعة فكان خمسة وعشرين . وكل مربع يزاد عليه جزآن متباعدان « 6 » كان وإلى مثله ومثل ربعه أو ثلاثة أمثاله ، أو نقص منه ثلاثة أرباعه ، فما يحصل فهو مربع ، ولا مربع نصفه أو ضعفه مربع ، ولا تجمع المربعات المتتالية مبتدئة من الواحد مربعا البتة ، وكل مربع فإما أن يكون له ثلث صحيح .
واعلم أن آحاد العدد المجذور لا تخلو إما أن يكون واحدا أو أربعة أو خمسة
هامش
( 1 ) بمربع الواحد : بواحد ( ب ) .
( 2 ) وقد استخدموا : وقد استخرجوا ( د ) .
( 3 ) فنزلت : فتركت ( سا ) .
( 4 ) مربع أول : مربع أقل ( سا ) .
( 5 ) مثل : مثل عدد ( سا ) .
( 6 ) صاعدان : ساعدان ( سا ) - متباعدان ( ب ) .