و بعد از تقرير اين مقدمات مى گوييم كه سطح دائره مذكوره كه آن را دائره هنديه گويند موازى سطح افق است ، پس بالضروره در سطح مقنطره اى از مقنطرات بود ، و مركز آن مركز آن مقنطره بود ، چه عمودى كه از سمت الرأس بر سطح افق آيد به مراكز جميع مقنطرات گذرد و سهم مقياس بر آن عمود منطبق است چنان كه مذكور شد ، پس محيط دائره هنديه ، موازى محيط آن مقنطره بود .
و مبين شد كه ظل بر فصل مشترك است ميان دائره ارتفاع و سطح افق حسى با مقنطره ديگر ، پس دو قوس از دائره هنديه كه واقع است ميان دائره نصف النهار و دو دائره دو ارتفاع متساوى از دو جانب او شبيه باشند به دو قوس از آن مقنطره كه واقع باشند ميان آنها ، پس دائره نصف النهار تنصيف كند قوسى را از دائره هندى كه ميان رأس آن دو ظل بود ، پس خطى كه به مركز دائره هنديه مى گذرد و منصف اين قوس بود در سطح نصف النهار بود و هو المطلوب .
( شكل شماره 84 )
اين بود برهان خط نصف النهار دائره هنديه به تقرير فاضل بيرجندى در شرح باب پانزدهم مقالت دوم زيج الغ بيك . اما در شرح تذكره در فصل دوازدهم باب سوم آن مذكور است .
بيان :
آن كه در آغاز مقدمه نخستين گفته است « : . . . و سطح افق با سطح