چون اين دو زاويه در اين دو مثلث متساوى اند پس دو قوس ارتفاع نيز متساوى باشند و هو المطلوب .
مقدمه سوم :
آن كه از فصل مشترك ميان افق با مقنطرات و نصف النهار و فصل مشترك ميان افق و مقنطره و دو دائره ارتفاع متساوى ، دو زاويه متساوى حاصل شود بر مركز افق با مقنطره . و به جهت بيان آن فرض كنيم كه دائره ( ش 84 ) ا ب ح د افق است بر قطب ه و ا ه ح نصف النهار . و ب ح د مدار آفتاب بر قطب ى .
و ط مركز آفتاب در جانب شرق ، و ر موضع آن در جانب غرب . و دو دائره ارتفاع ه طل ، و ه ر ك . و دو دائره ميل ى ط ، ى ر را اخراج كنيم . و ظاهر است كه دو قوس ى ط ، ى ر متساوى اند . و دو قوس ه ط ، ه ر دو تمام دو ارتفاع متساوى متساوى اند . و ه ى مشترك است ، پس دو زاويه ر ى ه طى ه متساوى باشند ، و همچنين دو زاويه ر ه ى ، طه ى ، بلكه دو زاويه ره ح ، طه ح به قوه شكل چهارم اولى اكرمانالاؤوس ( شكل مثلثين يساوى ضلعان من أحدهما ضلعين من الاخر كل لنظيره ، و تساوت الزاويتان اللتان بينهما تساوى ضلعاهما الباقيان ، و إن تساوى الضلعان الباقيان تساوت الزاويتان المذكورتان . . . ) پس ا ك ال كه دو مقدار اين دو زاويه اند متساوى باشند . و چون مقنطرات موازى افق اند ، و دوائر ارتفاع و نصف النهار به قطب آنها گذشته اند پس به شكل دهم از ثانيه اكرثاوذوسيوس ، دو قوس از هر مقنطره كه واقع باشد ميان قوس اه و دو قوس ك ه ل ه متساوى باشند . و ظاهر است كه فصل مشترك ميان دوائر ارتفاع عمودى است كه از سمت الرأس بر سطح افق آيد و به مراكز جميع مقنطرات گذرد ، پس از فصل مشترك ميان نصف النهار و هر مقنطره كه بود در فصل مشترك ميان همان مقنطره و دو دائره ارتفاع متساوى دو زاويه متساوى حادث شود بر مركز آن مقنطره به سبب تساوى دو قوس آن دو زاويه و هو المطلوب .