سطح دائره ارتفاع و سطح افق با سطح موازى او . و اين به جهت آنست كه مركز مقياس به منزله مركز سطح افق حسى است ، پس خطى كه و اصل شود از سمت الرأس كه قطب افق است به مركز مقياس عمود بر سطح افق است به شكل نهم از اولى اكرثاوذوسيوس ( كل خط يصل بين قطب دائرة تقع في كرة ، و بين مركز تلك الدائرة فهو عمود على الدائرة . . . ) . و سهم مقياس نيز عمود است بر آن سطح ، پس منطبق بود بر آن عمودى كه به سمت الرأس مى گذرد . و چون دائره ارتفاع قائم بر سطح افق است و به سمت رأس مى گذرد به ضرورت به عمود مذكور بلكه به سهم مقياس مى گذرد ، و مركز آفتاب در سطح دائره ارتفاع است ، پس خطى كه از مركز آفتاب خارج شود و به رأس مقياس و رأس ظل گذرد در سطح دائره ارتفاع بود ، پس در مثلثى كه از سهم مقياس و خط ظل و قطر ظل حاصل است دو ضلع كه سهم مقياس و قطر ظل است در سطح دائره ارتفاع بود ، پس به شكل دوم از مقاله يازدهم اصول ( كل خطين يتقاطعان فهما فى سطح ، و كل مثلث فهو في سطح ) ضلع سوم كه خط ظل است نيز در آن سطح بود . و اين خط ظل در سطح افق با سطح موازى آن نيز هست ، پس بر فصل مشترك مذكور بود و هو المطلوب .
مقدمه دوم :
آن كه چون دو ظل يك مقياس كه يكى شرقى بود و ديگرى غربى متساوى باشند ارتفاع آن دو ظل نيز مساوى بود ، زيرا كه در دو مثلث كه از سهم مقياس و دو خط ظل متساوى و دو قطر ظل حاصل شده ، زاويه تقاطع سهم و خط ظل قائمه است ، پس به شكل چهارم اولى اصول ( إذا ساوى ضلعان و زاوية بينهما من مثلث ، ضلعين و زاوية بينهما من مثلث آخر كل لنظيره ، تساوى الضلعان و الزوايا الباقية و المثلثان كل لنظيره . . . ) دو زاويه كه خط ظل و قطر ظل به آن محيط است در آن دو مثلث نيز متساوى باشند ، و اين زاويه به قدر قوس ارتفاع است ، چه اگر قطر ظل اخراج كنند به مركز آفتاب گذرد پس به محيط دائره ارتفاع رسد ، و چون خط ظل اخراج كنند به تقاطع محيط افق و محيط دائره ارتفاع رسد ، پس زاويه مذكور مقدار قوس ارتفاع بود ، و