بيان :
آن كه فرمود « : و زاويه ح ره كه مساوى زاويه ح ر د است » همانست كه در ش 46 در حكم دو زاويه متقابل براس گفته آمد . و آن شكل نه مقاله اولى اصول است كه « : الزاويتان المتقابلتان الحادثتان عن تقاطع كل خطين متساويتان الخ ، پس خلاصه دو قضيه مذكور اين است :
هر گاه خط مستقيمى قاطع دو خط مستقيم ديگر شود كه دو زاويه متبادل متساوى حادث شود ، و يا دو زاويه متناظر متساوى حادث گردد ، و يا مجموع هر يك از دو زاويه داخل در يكجهت قاطع ، مساوى دو قائمه بود ، در هر يك از اين احوال سه گانه آن دو خط مستقيم متوازى خواهند بود . و بالعكس هر گاه خط مستقيمى قاطع دو خط مستقيم متوازى گردد ، هر يك از دو زاويه متبادل باهم متساوى خواهد بود ، و همچنين هر يك از دو زاويه متناظر باهم مساوى خواهد بود ، و نيز مجموع هر دو زاويه داخل در جهت واحد قاطع مساوى با دو قائمه خواهند بود .
تنبيه :
هر گاه خط ثالثى متوازى با دو خط متوازى بود ، و قاطعى هر سه را قطع كند ، و يا قاطع بيش از سه خط متوازى را قطع كند در هر حال همان احكام ش 47 تا ش 50 بر آنها جارى است . چون خط وى در ش 51 كه موازى با دو خط ا ب ، ح د است .
پس از احكام اين اشكال دانسته شود كه هر گاه دو خط مستقيم كه موازى با خط مستقيم ثالث بوده باشند ، آن دو باهم نيز متوازى خواهند بود .