جواب :
إذا وقع رصدان لموضعين من فلك البروج متقاطرين ثم لم يكن الثالث على تربيعهما بل كيف اتفق أوصلت إليها إلى المطلوبين .
فليكن : ا ب ج ، فلك الأوج على مركزه : ه ، والنقط المرصودة هي التي تنتهي إليها من مركز : ط ، خطوط : ط ا ، ط ب ، ط ج ، فالمتقاطران منها : ا ج ، و : ب ، كيف اتفق ونصل : ب ج . فقوسا : ا ب ، ب ج ، معلومتان لأنهما الحركة الوسطى فيما بين الأوقات الثلاثة فوتر : ا ج ، ب ج ، معلومان وزاوية : ب ج ط ، بمقدار نصف قوس : ا ب ، مهما نقلت إلى المركز وزاوية : ب ط ج ، بمقدار ما بين خطي : ط ب ، ط ج ، في فلك البروج وزاوية : ط ب ج ، بمقدار تمام مجموعهما فمثلث : ط ب ج ، معلوم الزوايا وفيه ضلع : ب ج ، معلوم و : ط ج ، أيضا معلوم و : ز ج ، جيب نصف قوس : ا ج ، فيبقى : ط ز ، معلوما وهو جيب تمام نصف قوس : ا ج ، وهو معلوم و : ط ه ، ما بين المركزين يقوى عليهما ونسبته إلى : ه ز ، كنسبة جيب زاوية : ه ز ط القائمة إلى جيب زاوية : ه ط ز ، بعد الأوج في فلك البروج من النقطة الأولى فكلي المطلوبين إذن معلومان .
فإن لم نعتبر في هذه النقط شريطة بل كانت كيف ما اتفقت كان قوسا : ا ب ، ب ج ، هما الوسطان فيما بين الأوقات الثلاثة فنخرج : ب ط ، على استقامته إلى : د ، ونصل : ا د ، ج د ، وزاوية : ا د ب ، عند المركز بقدر نصف قوس : ا ب ، ولنسمه نصفا أول ، وإذا ألقيت من زاوية : ا ط ب ، التي هي بقدر ما بين النقطة الأولى وبين الثانية في فلك البروج بقيت زاوية : ط ا د ، ولنسمّه فضلا أول و : د ا ، وترا أول ، وزاوية : ب د ج ، بقدر النصف الثاني وزاوية : د ج ط ، الفضل الثاني ، و : د ج ، الوتر الثاني ، ثم لنجعل : ط د ، واحدا بالفرض ونسبته إلى د ا ، الوتر الأول كنسبة جيب زاوية : ط ا د ، الفضل الأول إلى جيب زاوية : ا ط د ، تتمة النصف الأول فالوتر الأول معلوم ، وكذلك نسبة : ط د ، الواحد إلى :
د ج ، الوتر الثاني كنسبة جيب زاوية : ط ج د ، الفضل الثاني إلى جيب زاوية : د ط ج ، تتمة النصف الثاني فالوتر الثاني أيضا معلوم .
وننزل على : ا د ، عمود : ج ز ، ففي مثلث : ج ز د ، زاوية : ز د ج ، على المركز بمقدار مجموع النصفين وجيبها : ج ، وزاوية : د ج ز ، تمامها وجيبه : د ز ، لكنهما بالمقدار الذي به : د ج ، الجيب كله و : ج د ، الوتر الثاني بغير هذا المقدار