بعدهاى جايگاه چه چيزند
سهگونهاند يكى درازا وديگر پهنا وسه ديگر ژرفا . وچنان نيست كه نام درازا بر بعدى « 1 » اوفتد وبر ديگران نتواند اوفتادن ولكن « 2 » اين نامها باضافت نهادهاند ، هرگه كه يكى را از آن بعدها طول نام كنى آن ديگر كه بر أو گردد « 3 » عرض نام شود وآن سه ديگر كه بر هر دو گردد « 3 » آن را عمق خوانند . وعادت مردمان چنان « 4 » رفته است كه درازترين بعدى را « 5 » طول نام كنند اى درازا وآنك از أو كمتر است أو را عرض نام كننداى پهنا وسديگر را عمق نام كنند اى ژرفا واگر بلندى بود سمك گويند اى بالا « 6 » .
شش جهت كدامند
آن نهايتهاى اين سه بعدند كه گفتيم از دو جانب . ويكى از نهايتهاى طول پيش نام است وديگر پس . ويكى از نهايتهاء عرض راست وديگر چپ . ويكى از نهايتهاء عمق زير وديگر زبر .
سطح چيست
جسم ناچاره بىنهايت نبود بهمه سوها ونهايت أو سطح است « 7 » واين نام را از بأم خانه « 8 » گرفتند . ونيز أو را بسيط گويند
هامش
( 1 ) - بعضي خ ، يكى حص .
( 2 ) - زيرا كه ، خ .
( 3 ) - گذرد ، خ . س
( 4 ) - بر آن ، خ . س .
( 5 ) - ابعادى را ، خ .
( 6 ) - لفظ سمك در هندسهء مجسّمه گاهى بجاى عمق بكار ميرود واز اين جهت شكل مجسّم را تعريف كنند بچيزى كه داراى طول وعرض وسمك باشد . در صدر مقالهء 11 كتاب أصول يا هندسهء أقليدس مينويسد « الشّكل المجسّم ماله طول وعرض وسمك وينتهى بالذّات إلى سطح » . تفاوت سمك با عمق باعتبار است زيرا امتداد جسماني را اگر از بالا بپائين اعتبار كنند عمق واگر از پائين ببالا اعتبار كنند سمك ناميده ميشود چنانكه از سطح زمين بقعر چاه يا از ته چاه ببالا نظر كنند . عادت بر اين است كه در مورد چاه وأمثال آن بعمق ودر كوه وهمانندهاى آن سمك تعبير كنند . لفظ سمك گاهى مرادف مطلق بعد استعمال ميشود وبعدهاى سهگانه را خاصّه چون جسم داراى سطوح متمايله باشد ( أسماك ثلاثة ) خوانند . وطول بچند معنى استعمال ميشود :
نخستين امتداد مفروض . درازترين دو امتداد كه متقاطع در يك سطح باشند بدون تمايل يكى از ديگر . يك امتداد بطور مطلق - عرض هم بمعنى دوّمين امتداد مفروض وهم بمعنى كوتاهترين دو امتداد متقاطع گفته ميشود .
( 7 ) - مقصود از نهايت در اينجا وهمچنين در خطّ ونقطه نهايت بحسب وضع است كه آنرا ( حدّ ) و ( طرف بالفعل ) گويند نه تناهى بحسب كميّت ومقدار يا ( تناهى ابعاد ) كه در فلسفه اثبات وجزو مبادى مسلّمهء فنّ رياضى شمرده شده است . واينكه در قضاياى رياضى گاه شنيده ميشود كه خطّى بىنهايت فرض مىكنيم مقصود همين نهايت بحسب حدّ وطرف است نه عدم تناهى بعد بر فرض محال . وآنچه پس از اين در تعريف خطّ ونقطه بصورت قضيّهء شرطيّه ميآيد « اگر بسيط را نهايت باشد » و « چون خطّ را نهايت باشد » هم مقصود نهايت بحسب وضع است چرا كه تناهى ابعاد جسماني از مسائل برهاني فلسفه وجزو أصول مسلّمهء فنون تعليمي است ودر آن قيد وشرط درنمىبايد . واين شرط براي آنست كه گاهى سطح را نهايت وطرف بالفعل نيست همچون سطح كره وخط را همچنين گاه نهايت بحسب وضع بالفعل نيست مانند محيط دائره . وتعبير « بهمه سوها » در مورد جسم باصطلاح علماى أدب وأصول قيد منفى است نه قيد نفى . يعنى جسم ناگزير بحسب وضع طرف وحدّى بالفعل دارد هرچند در همه امتدادات وبهمه سوها نباشد مانند حلقهء مفرغه كه در بعضي امتدادانش بحسب وضع بىنهايت است . وامّا اينكه نهايت جسم سطح ونهايت سطح خطّ است ، در همهء موارد بحسب ظاهر راست نمىآيد . چه مثلا در جسم مخروط از يك سوى حدّ ونهايت بالفعل نقطهء رأس است . پس اگر جسم مخروط را در نظر بگيريم در يك امتداد منتهى بنقطه شده است نه بسطح . واگر سطح آنرا در نظر بگيريم نهايتش در يك امتداد باز نقطه است نه خطّ وهمچنين جسم مسنّم در يكى از سوها نهايتش خطّ ودر باقي سطح است . وسطح اهليلجى مجسّم در يك امتداد بحسب وضع بىنهايت ودر باقي منتهى بنقطه ميشود . پس در همه سوها جسم منتهى بسطح وسطح منتهى بخطّ نخواهد بود . برخى فائدهء قيد ( بالذّات ) را كه در تعريف شكل مجسّم آوردهاند ودر حاشيهء سابق آورديم همين دانستهاند كه از همانندهاى جسم مخروط ومسنّم احتراز شود ودر سطح نيز همين قيد را آوردهاند وگويند مثلا جسم مخروط بالذّات منتهى بسطح ميشود ونقطهء رأس در حقيقت طرف خطّ سهم مخروط است نه طرف جسم يا سطح . اين گفتار بنظر نگارنده ناصواب ميآيد زيرا كه سهم مخروط خطّى است موهوم كه از رأس بقاعده فرض ميشود ووجود خارجي ندارد . امّا نقطهء رأس در خارج موجود وداراى وضع يعنى قابل اشارهء حسّى است هرچند وجودش تبعي باشد . وچگونه نقطهء موجود بالفعل را نهايت خطّ موهوم قرار توان داد .
وقيد بالذّات در تعريف شكل مجسّم براي آنست كه نهايت جسم ذاتا سطح است بدون واسطه در عروض . امّا چون سطح منتهى بخطّ وخطّ منتهى بنقطه ميشود جسم هم بالعرض منتهى بخطّ ونقطه وسطح وخطّ واسطهء در عروض خواهند بود . برخى أصل قضيّه را بصورت قضيّه مهمله كه در حكم جزئيّه است بيان كردهاند نه بشكل موجبهء كلّيّه . وگويند جسم منتهى بسطح وسطح منتهى بخطّ ميشود هرچند در بعض امتدادات باشد . بنا بر اين نقض مورد نخواهد داشت .
( 8 ) - واين از نام خانه ، خد 7 .