كان ؟ سواء كان مثلثا أو مربعا أو مخمسا . أو غير ذلك من المضلعات التي لا نهاية لها . فإنك إذا أخرجت كل واحد من أضلاعه في جهة واحدة ، فإن مجموع الزوايا الحادثة في الخارج من ذلك الضلع ، يساوي أربع قوائم . لا أزيد ولا أنقص . والدليل عليه : الاستقراء والبرهان .
أما الاستقراء : فهو أن المثلث إذا أخرج كل واحد من أضلاعه الثلاثة على الاستقامة ، حيث من كل منها زاويتان معادلتان لقائمتين ومجموعهما ست قوائم ، والواقع « 1 » في داخل المثلث اثنان . فالباقي من تلك الستة « 2 » في الخارج : أربع قوائم . وأيضا : المربع إذا أخرج كل واحد من أضلاعه الأربعة إلى الخارج ، حدث بسبب كل ضلع قائمتان « 3 » أو معادلتان لقائمتين .
فالمجموع : ثمانية . لكن المربع يحصل فيه مثلثان ، فتكون القوائم الحاصلة في داخل المربع : أربعة . فبقيت « 4 » الحاصلة في الخارج أربعة . وأيضا : المخمس إذا أخرج كل واحد من أضلاعه على الاستقامة إلى الخارج ، حدث بسبب كل ضلع زاويتان « 5 » معادلتان لقائمتين . فيكون مجموع القوائم : عشرة . والواقع منها في داخل المخمس : ست ، فيبقى في الخارج : أربعة . واعتبر حال سائر الأشكال من نفسك . لتعرف أن الحال كما ذكرناه .
وأما البرهان : فنقول إن كل مضلع « 6 » فإنه يمكن إخراج كل واحد من أضلاعه على الاستقامة . فإذا فعلنا حصل بسبب ذلك زاويتان معادلتان لقائمتين إحداهما واقعة في داخل [ ذلك « 7 » ] المضلع ، والأخرى خارجة عنه . وإذا كان كذلك ، وجب أن يكون عدد القوائم الحاصلة في الداخل والخارج : ضعيف عدد أضلاع ذلك المضلع .
هامش
( 1 ) والراجع منها ( ط ) مكرر .
( 2 ) النسة : غير ( م ، ط )
( 3 ) قائمتان ومعادلتان ( م ) .
( 4 ) فيثبت : الحاصلة في داخل المربع أربعة ، فيثبت الحاصلة في الخارج أربعة ( م ) .
( 5 ) زاويتان ومعادلتان ( م ) .
( 6 ) ضلع ( م ) .
( 7 ) من ( ط ) مكرر .