ج ك إلى ك د « 1 » . ط د « 2 » إلى ط ألكن نسبة ج ل إلى ل أكنسبة « 3 » جيب قوس ج ه إلى « 4 » جيب قوس « 5 » ه أو كذلك نسبة ج ك إلى ك د كنسبة جيب قوس ج ر إلى جيب قوس ر د ونسبة « 6 » ط د إلى ط أكنسبة « 7 » جيب « 8 » قوس ب د إلى جيب قوس ب أفإذن نسبة جيب قوس ج ه « 9 » إلى جيب قوس ه أمؤلفة من نسبة جيب قوس ج ر إلى جيب قوس ر د وجيب قوس ب د إلى « 10 » جيب قوس ب أو هذا مثاله « 11 » .
هامش
( 1 ) [ إلى ل د ] : غير موجود في سا
( 2 ) سا : [ و : ط ]
( 3 ) في هامش ب : ( إذا كانت نسبة ح إلى ى مؤلفة من نسبة ح إلى ط ومن ط إلى ى فإن نسبة ح إلى ط مؤلفة من نسبة ح إلى ى ومن نسبة ى إلى ط . وكذلك نسبة ط إلى ى مؤلفة من نسبة ط إلى ح ومن ح إلى ى وعلى هذا القياس في العكس ]
( 4 ) [ جيب قوس ح ه إلى ] : في هامش ف
( 5 ) [ ح ه إلى جيب قوس ] : في هامش ب
( 6 ) [ ح ل إلى ل د كنسبة جيب قوس ح ر إلى جيب قوس ر د ونسبة ] : غير موجود في د
( 7 ) سا ، د : غير موجود
( 8 ) سا ، د : كجيب
( 9 ) د : ح ه
( 10 ) [ جيب قوس ح ر إلى جيب قوس ر د وجيب قوس س ب د إلى ] : غير موجود في د
( 11 ) نظرية ( 10 ) : شكل قطاع كرى يتكون من أربعة أقواس عظام على سطح الكرة هي ا ب ، ا ح والقوس ح ر د المار بنقطة ح ويقطع ا ب في د ، والقوس ب ر ه المار بنقطة ب ويقطع ا ح في ه حيث نقطة ر هي تقاطع ح ر د ، ب ر ه فيكون - جيب قوس ح ه / جيب قوس ه ا - جيب قوس ح ر / جيب قوس ر د * جيب قوس د ب / جيب قوس ب ا البرهان : نفرض أن ح مركز الكرة ونصل ح ه ، ح ب ، ح ر والوتر ا د ه ح هو نصف قطر الدائرة الواصل إلى نقطة ه من القوس ا ح ه ح والوتر ا ح في مستوى واحد وبالمثل ح ر ، ح د وكذلك ح ب ، ا د في مستوى واحد نفرض نقطة تقاطع ح ه ، ا ج هي ل وتقاطع ح ر ، ح د هي ل أما ح ب ، ا د . فهناك ثلاث حالات لهما . فهما إما أن يتوازيا أو يتقاطعا من جهة د ، ب أو يتقاطعا من جهة ا ، ح الحالة الأولى : إذا تلاقى ح ب ، ا د من جهتي د ، ب في نقطة ط ( شكل 18 ) المستقيمات ح ه ، ح ر ، ح ط تلتقى في نقطة ح وتقع كلها في مستوى القوس ه ر ب النقط ل ، ل ، ط تقع كلها في مستوى واحد هو مستوى القوس ه ر ب ومن ناحية أخرى نقطة ط تقع على المستقيم ا د أي تقع في سطح المثلث ا د ح وكذلك نقطة ل الواقعة على المستقيم ح د أي تقع في سطح نفس المثلث والنقطة ل واقعة على المستقيم ا ح فهي إذن تقع في سطح المثلث أي أن النقط ل ، ل ، ط تقع كلها في مستوى المثلث ا د ح ولكنها تقع في مستوى آخر هو مستوى القوس ه ر ب النقط الثلاث تقع على مستقيم واحد هو تقاطع المستويين المستقيمات ا ح ، ا ط ، ح د ، ط ل تقع كلها في مستوى واحد وقد تقاطع ح د ، ط ل في نقطة ل ح ل / ل ا - ح ل / ل د * ط د / ط ا ( نظرية 8 ) لكن ح ل / ل ا - جيب قوس ح ه / جيب قوس ه ا ، ح ل / ل د - جيب قوس ح ر / جيب قوس ر د ، ط د / ط ا - جيب قوس د ب / جيب قوس ب ا - ومن ذلك ينتج المطلوب