هامش
البرهان : في شكل ( 7 ) وتر ح ب أطول من ا ب والمطلوب إثبات ان الوتر ح ب / الوتر ا ب أقل من القوس ح ب / القوس ا ب ننصف ب بالمستقيم ب د ليقابل المحيط في نقطة د ثم نسقط العمود د ر على ا ح ليقابله في ر ثم نركز في نقطة د ونرسم قوسا من دائرة نصف قطرها د ه حيث ه نقطة تقاطع ب د ، ا ح ونفرض أن القوس تقابل امتداد د ر في ط وتقطع د ا في ح .
ح ب د - ا ب د بالتنصيف الوتر ح د - د ا المثلث د ا ح متساوي الساقين د ر عمود من رأس المثلث د ا ح على القاعدة فهو ينصفها ح ر - ر ا في المثلث ا ب ح : ب ه ينصف زاوية الرأس ا ب ح ويلاقى القاعدة في ه .
ح ب / ب ا - ح ه / ه ا لكن ح ب ) ب ا فرضا ح ه ) ه ا العمود د ر يقع داخل المثلث ه ح د ر القائمة ) د ه ر ) د ا ه د ر ( د ه ( ا د أي أن القوس ط ه ح يقطع ا د ويقطع امتداد د ر قطاع د ه ط ) مثلث د ه ر وقطاع د ه ح ( مثلث د ه ا قطاع د ه ط / قطاع د ه ح ) مثلث د ه ر / مثلث د ه ا زاوية ه د ر / زاوية ه د ح ) القاعدة ر ه / القاعدة ه ا ر ه + ه ا / ه ا ( ه د ر + ه د ح / ه د ح ر ا / ه ا ( ر د ا / ه د ح بضرب الطرفين في 2 ينتج أن 2 ر ا / ه ا ( 2 زاوية ر د ا / زاوية ه د ح ح ا / ه ا ( ح د ا / ه د ح ومن ذلك ينتج أن ح ا - ه ا / ه ا ( ح د ا - ه د ح / ه د ح ح ه / ه ا ( ح د ه / ه د ح لكن ح ه / ه ا - ح ب / ب ا ح ب / ب ا ( ح د ب / ب د ا أي أن ح ب / ب ا ( القوس ح ب / القوس ب ا - وهو المطلوب