الهندسية ، وطلب هذه الواسطة أن تزيد الأصغر على الأكبر ، وتقسم ما اجتمع قسمة يكون ضرب أحدهما في الأخر كضرب الباقي من الأعظم بعد طرح الأصغر منه في الأصغر ، وذلك سهل لمن عرف النسبة فإن أمكن ذلك ، وإلا فالمسألة مستحيلة ، فما خرج ينقص الأصغر من أكبره وما بقي فهو الواسطة . ومن خاصيتها أن ضرب الأعظم في الأوسط ضعف ضرب الأعظم في الأصغر مزيدا عليه الأوسط ، ومن تلك أن واسطتها في المناسبة الضعيفة « 1 » مجذور دائما جذره الأصغر ، وأن الطرف الأعظم أصغر من مجموع الباقيين بواحد ، والسادسة أن يكون الأعظم عند الأوسط مثل فضل الأصغرين عند فضل الأعظمين ، وهي أيضا تضاد بذلك الهندسية ، ومثاله 1 4 6 ، واستخراج الواسطة بأن تنقص « 2 » الأصغر من الأعظم ويزاد عليه فينظر مبلغ الباقي فيضرب في الأعظم ، ثم ينظر كم يحتاج أن يزاد على الأعظم حتى يكون ضرب تلك الزيادة في جميع المجموع من الأصل والزيادة بين مثل المسطح الذي حفظ لمجموع الزيادتين هو الواسطة ، فان أمكن فالمسألة محال ، وأيضا فإنك إذا نقضت وضربت أخذت مربع نصف مجموع الحاشيتين وزدته على المحفوظ وأخذت جذره ونقصت منه المضروب أولا في نفسه فما بقي تزيده على الأصغر . وقد وجد بها من الخواص أن المناسبة إذا كانت على نسبة المثل والجزء كان الواسطة مجذورا ، أو إذا أضيف إليها جذرها كان مجموعه الطرف الأعظم والطرف الأصغر أقل منه يجذره ، وأما الأربعة التي عرفت أخيرا فأولهما وهي السابعة أن تكون نسبة التفاضل بين الطرفين إلى التفاضل بين الأصغرين كنسبة الأعظم عند الأصغر ، مثاله 6 8 9 ، « 3 » واستخراج واسطتها بضرب الأصغر في الفضل بينه وبين الأعظم وقسمة المجموع على الأعظم وزيادة ما خرج على الأصغر ، فما بلغ فهو الواسطة ، والثامنة أن تكون نسبة الأعظم إلى الأصغر كنسبة تفاضل الطرفين إل تفاضل الأعظمين ، مثاله ستة سبعة تسعة وهي عكس السابعة ، واستخراج واسطتها عكس استخراج تلك الواسطة ، وذلك بضربك الأصغر في الفضل بين الطرفين وبقسمة الخارج على الأعظم فما خرج تنقصه من الأعظم ، فما بقي فهو الواسطة ، والتاسعة أن يكون نسبة تفاضل الطرفين إلى تفاضل الأصغرين نسبة الواسطة إلى الأصغر مثل 4 6 7 ، واستخراج واسطتها بأن ينقص الأصغر من الأكبر ويقسم الباقي قسمة تكون نسبة أحد القسمين إلى الآخر كنسبة الآخر إلى الأصغر ان أمكن ، فتسقط القسم الأول منهما من الأعظم ، فما بقي
هامش
( 1 ) الضعيفة : الضعيفة .
( 2 ) تنقص : تخرج ( سا ) - 1 4 6 : 1 4 5 6 ( ب ) .
( 3 ) . 6 8 9 : 4 6 7 أو 3 8 9 ( سا ) .