ولنذكر خواص العدد مطلقا ، فأولها وأشهرها أن كل عدد فإنه نصف حاشيتيه ؛ وهما عددان يليانه من جهة جانب القلة والكثرة ( من بعد سواء ) ، مثال ذلك الخمسة فإنها نصف ستة وأربعة ، ونصف سبعة وثلاثة ، ونصف ثمانية واثنين ، ونصف واحد وتسعة ، فيكون ضعفها « 1 » مساويا لحاشيتيها ، ونصفها لربع حاشيتيها . وكل عدد فان مربعه مساو لمضروب حاشيته القريبتين إحداهما في الأخرى مع زيادة واحد ، مثل مربع اثنين فإنه من ضرب ثلاثة في واحد وزيادة واحد ، ومثل مربع ثلاثة فإنه ضرب أربعة في اثنين وزيادة واحد ، ومثل مربع أربعة فإنه من ضرب ثلاثة وخمسة وزيادة واحد .
بل نقول إن كل عدد فإن مربعه يزيد على مسطح حاشيتيه أيهما كان في الآخر بمربع عدد المراتب بينهما ، فإن كانت الحاشيتان القريبتان بالمرتبة هي الأولى فتزيد بمربع الواحد ، فإن كانتا ثانيتين زاد بمربع الاثنين ، وان كانتا ثالثتين زاد بمربع ثلاثة ، وكل عدد فإن بعده من المراتب من ضعفه . أما إن أخذته في أول المراتب فمثل عدده وزيادة واحد ، وأما إن أخذت أول المراتب بعده ، فبعده بما فيه من الآحاد ، مثاله « 2 » أن بين أربعة وثمانية تارة أربعة خمسة ستة سبعة ثمانية ، فذلك خمسة وهو يزيد عليه بواحد ، وتارة خمسة ستة سبعة ثمانية ، وذلك مثل أعداده وما فيه من الآحاد .
كل عدد فإن بعده من ضعفه إذا لم يؤخذ هو مثل مضروبه في واحد ، وان أخذ هو في المراتب فمثل ذلك وزيادة واحد . ،
كل عدد فان بعده من ثلاثة أضعافه فهو بمقدار آحاده مضروبة في اثنين إما بزيادة واحد أو من غير زيادة واحد على ما علمت قبل ، مثل اثنين فإن بعده من ستة هو مضروبه في اثنين ، ثم بزيادة واحد أو غير زيادة ، وبعد ثلاثة من ثلاثة أمثاله وهو بعدد مضروبه في اثنين ثم بزيادة وبغير زيادة ، وكذلك فإن كل عدد فإن بعده من أربعة أضعافه هو بمقدار مضروبه في ثلاثة من العدد بزيادة أو غير زيادة ، وبالجملة فالبعد من كل موضع هو أن ينقص من مسمى الأضعاف واحد ويضرب العدد فيما بقي ثم يزاد أو لا يزاد .
وكل عدد فإن بعده من مربعه بمقدار مضروبه في العدد الذي قبله ، ثم يزاد واحد أو لا يزاد ، مثل مضروب الاثنين في واحد فهو بعده من مربعه إذا لم يزد ، ومضروب الثلاثة في الاثنين فإنه بعد الثلاثة من مربعه إذا لم يزد ، وكذلك لكل عدد فان بعده عن
هامش
( 1 ) فيكول ضعفها : فيكون ضعفه ( سا ) . ونصفها لربع : ساقطة في ( سا ) .
( 2 ) مثاله : مثلا في ( سا ) .