كانت هذه المسائل قد ألهمت علماء الرياضيّات الإغريق منذ أقدم العصور وتزامنت أولى محاولات حلّها مع الأعمال الأولى عن القطوع المخروطيّة . ولكن ، تجدر الإشارة إلى أنّ هذه المسائل أدّت ، في العالم الإغريقي ، إلى إسهاماتٍ متفرّقة ، ليس لها الطابع المنهجيّ المرتبط بوضعها كمسائل قابلة للحل بواسطة تقاطع مخروطات . ولحل هذه المسائل ، لم يتردّد علماء الهندسة الإغريق في اللجوء إلى منحنياتٍ متسامية ( كالمنحني التربيعي والمحاريّة ) دون البحث عن برهان وجود نقطة تقاطع هذه المنحنيات ، أو إلى بناءات من النوع الميكانيكي ( الآلي ) بواسطة مسطرة متحرّكة . وعند قراءة " المخروطات " لأبولونيوس في العالم العربي ، مع بداية القرن التاسع ، استعيدت هذه المسائل المجسّمة بكثافة ، وتوحّدت طرائق معالجتها ، وبدأ التخلّي تدريجيّاً عن الحلول بواسطة الأدوات وتوقّف اللجوء إلى المنحنيات المتسامية .
مضاعفة المكعّب
هذه المسألة هي الأقدم من بين المسائل المجسّمة ، وقد جرى العمل على حلّها ، بين القرنين التاسع والحادي عشر للميلاد ، بطرائق عديدة منها : طريقة بني موسى ( القرن التاسع للميلاد ) ، بواسطة تقاطع أسطوانة قائمة وقولب طوقي ( طارة ) ومخروط قائم « 1 » ؛ وطريقة أبي جعفر الخازن ( النصف الأوّل من القرن العاشر ) ، بواسطة تقاطع قطعٍ زائد ودائرة « 2 » ، وهي طريقة استعادها مع بعض الاختلاف ، المدعو أبو بكر الهَرَوي ( الذي ربّما يكون أحمد بن أبي سعد الهَرَوي من نهاية القرن العاشر - الذي ندين له بوصول النسخة الأقدم من كتاب " الأُكر " لمينيلاوس إلى عصرنا ) ؛ كما استعادها القوهي ( من النصف الثاني للقلرن العاشر ) ، ثُمّ نصير الدين الطوسي ( القرن 13 م ) . ويعطي ابن هود المؤتمن ، ( ملك سراغوصة بين العامين 1081 و 1083 م ) ، في مؤلّفه " الاستكمال " ، أربعة بناءات « 3 » لهذه المسألة تستخدِمُ على التوالي : تقاطع قطعٍ مكافىء وقطعٍ زائد ، وتقاطع قطعين مكافئين ( على مثال الخيّام في مؤلّفه الجبريّ « 4 » ) ، وتقاطع قطعٍ زائد ودائرة ( طريقة الخازن ) ، وأخيراً تقاطع دائرة وقطعٍ مكافىء .
تثليث الزاوية
تمّ حلّ هذه المسألة أوّلًا ، في النصف الأوّل من القرن التاسع ، بطرائق هلّينستيّة ( أي بطرائق ميكانيكيّة أو منحنيات متسامية ) ، من قِبَل ثابت بن قرّة وبني موسى « 5 » ( تقاطع قوس من محاريّةٍ دائريّة وخطٍّ مستقيم ) . في النصف الثاني من القرن العاشر ، أعطى القوهي لهذه المسألة حلًّا يرتكز إلى تقاطع دائرة وقطعٍ زائد . ونهاية القرن العاشر ، اختصر السِزجي طرائق العديد من معاصريه ( أبو الحسن الهَرَوي ، البيروني الذي ندين له بثلاث طرائق - والصاغاني ) واقترح بناءً يتيح برهان كل البناءات الأخرى .
هامش
( 1 ) - راجع :R . Rashed , Les mathematiques infinitesimales du ixe au xie siecle , vol . I , Fondateurs et commentateurs , al - Furqوn , Londres , 1996 , pp . 116 - 129 .( 2 ) - راجع :Wilbur Knorr , Textual Studies in Ancient and Medieval Geometry , Boston , Basel , Berlin , 1989 .( 3 ) - راجع :Jan P . Hogendijk , Four constructions of two mean proportionals between two given lines in the Book of Perfection Istikmوl of al - Mutaman ibn H d , dans"Journal for History of Arabic Science", vol . 10 , 1992 - 93 - 94 , pp . 13 - 29 .( 4 ) - راجع المرجع المذكور سابقاً : ر . راشد وب . فاهابزاده ،Al - Khayyخm mathematicien، باريس ، 1999 ، ( ص . 152 - 157 من الصيغة الفرنسيّة أو ص . 178 من الصيغة العربيّة ) .
( 5 ) - ر . راشد :R . Rashed , Mathematiques infinitesimales , vol . I , pp . 128 - 133 .