يرتكز " البرهان " الثاني لثابت على المصادرة التالية : إذا رسم أحد طرفَيْ قطعة مستقيم ، ثابتة الاتّجاه ، خطّاً مستقيماً ، فإنّ الطرف الآخر من هذه القطعة يرسم كذلك خطّاً مستقيماً ( أو بتعابير أخرى أنّ خطّاً مستقيماً يتحوّل بالانسحاب إلى خطٍّ مستقيم ) . يبرهن ثابت أوّلًا أنّه ، إذا كان لمضلّعٍ رباعي زاويتان متساويتان عند قاعدته وضلعان جانبيّان متساويان ( هذا المضلّع يُدعى مضلّع ساكّيري
( Saccheri )
« 1 » ( ، فإنّ الزاويتين الباقيتين تكونان متساويتين ) وبالعكس ، إذا كانت الزاويتان متساويتين عند عند كلٍّ من القاعدتين المتقابلتين ، تكون الأضلاع المجاورة لهاتين القاعدتين متساوية ( . ممّا سبق ، يستنتج ابن قرّة أوّلًا ، أنّ خطّين مستقيمين عمودين على خطٍّ مستقيم ثالث ، تكون المسافات فيما بينهما متساوية ) وبرهان ما سبق يستدعي " الأصول " ،
I
، 17 ) « 2 » ، ثمّ يستنتج من ذلك أنّه ، إذا ما قُطِع خطّان مستقيمان تتساوى فيما بينهما المسافات بقاطع ، فإنّ الزاويتين المتبادلتين الداخليّتين تكونان متساويتين ( تدخل في هذه البراهين إمكانيّة مدِّ عمودٍ على خطٍّ مستقيم من نقطة خارج هذا الخط " الأصول " ،
I
، 12 - ووحدانيّة هذا العمود التي تُستُنتج من " الأصول " :
I
، 16 ، وكذلك موضوعة باش ) . ويستنتج ابن قرّة بعد ذلك ، كما في البرهان الأوّل ، المصادرة الخامسة ، مبرهِناً وجود نقطة تقاطع لأيّ خطّين مستقيمين يُشكّلان ، إذا ما قُطِعا بقاطعٍ ، زاويتين داخليّتين مجموعهما أقلّ من زاويتين قائمتين .
وقد خصّص الرياضيّ الكبير ابن الهيثم ( المتوفّى بعد العام 1040 ) ، رسالتَين للمصادرة الخامسة « 3 » . في الرسالة الأولى ، يبرّر أوّلًا ، بفضل الحركة ، وجود خطّين مستقيمين تكون المسافات فيما بينهما متساوية ، ومفهوم الخطّين المستقيمين اللذين تكون المسافات فيما بينهما متساوية ، هذا المفهوم الذي ، كما في البرهان الثاني لثابت ، حلَّ محلَّ مفهوم الخطّين المستقيمين المتوازيين . ويبرهن لاحقاً ، بالخُلف ، ما يلي : إذا كان لمضلّع رباعي 3 زوايا قائمة ، يكون له ضلعان متقابلان متساويان ( يَدخل في برهانه ، علاوةً عن الحركة ، وحدانيّة الخط المستقيم الذي يمر بنقطتين ، أي أنّ خطّين مستقيمين لا يمكن أن يحيطا بسطح ) ، ثمّ يستنتج أنّ الزاوية الرابعة قائمة أيضاً . عند ذلك يبرهن المصادرة الخامسة مبرهناً وجود نقطة تقاطع لأيّ خطّين مستقيمين يشكّلان ، إذا ما قُطعا بقاطع ، زاويتين داخليّتين مجموعهما أقل من زاويتين قائمتين ؛ يبرهن ذلك أوّلًا في حالة كون الزاويتين الداخليّتين حادّتين ، ثمّ في حالة كون إحدى الزاويتين قائمة ، وأخيراً في حالة كون إحدى الزاويتين منفرجة ( وتدخل في برهانه موضوعة باش وموضوعة أرخميدس كما تدخل إمكانيّة مدِّ عمودٍ إلى خطٍّ مستقيم من نقطةٍ خارج هذا الخط ووحدانيّة هذا العمود ) .
في الرسالة الثانية ، يتوقّف ابن الهيثم عن محاولة برهان المصادرة الخامسة ، لكنّه يقترح استبدالها بمصادرة أخرى ، هي بالنسبة إليه " أظهر من تلك عند الحسّ وأوضح للنفس " وهي التالية : خطّان
هامش
( 1 ) - نِسبة إلى الرياضي الإيطالي ساكّيري ، من القرن الثامن عشر ( المترجِم ) .
( 2 ) - " الأصول "I، 17 : في كل مثلّث ، إذا ما جُمِعت زاويتان ، أيّاً كانتا ، من الزوايا الثلاث ، فإنّ مجموعهما أقلّ من زاويتين قائمتين ( الترجمة الفرنسيّة ل - ب . فيتراك( B . Vitrac .) )
( 3 ) - ابن الهيثم ، " شرح مصادرات كتاب أقليدس في " الأصول " " ، باربرا هوبر سود( Barbara Hooper Sude )، وفق المخطوطات بودليان( Bodleian ) I، 908 / 1 ( هاتّنغتن( Huttington ) 237 )، الجزائر 1446 / 1 ، فايزالله 1359 / 2 .
ابن الهيثم ، " كتاب في حلِّ شكوك أقليدس في الأصول وشرح معانيه " ، سزكين ، ( نسخة شبيهة لمخطوطة أ . ي .( A . Y . ) 800، مكتبة جامعة إسطنبول ، أتمّتها مخطوطةOr . 516، مكتبة جامعة لايدن ) ، فرانكفورت ، 1985 ، ص 24 - 27 .