الصف الثالث غير موجود عند ابن الفتح ، لقد أضفناه حيث أشرنا للنسب بالرموز الحالية وهذا لتسهيل الفهم . كما أضفنا العمود الأخير من الجدول ووضعنا ثلاث نقاط في كل خانة منه للدلالة على عمومية طريقة سنان . والجدير بالذكر أن الرموز لم تكن معروفة في عصر سنان بن الفتح ولم يظهر استخدامها في الجبر إلا في القرن الرابع عشر ميلادي بالمغرب العربي [ جبار ، 2001 ، ص 229 - 230 ] . وبعد الجدول يصف سنان كيفية الاستخدام الجبري لوحيدات الحد هذه حيث يقول :
« ثم حساب الجبر والمقابلة يجري على ثلاث مراتب متناسبة ذات واسطة وطرفين : تكون نسبة الأول إلى الثاني كنسبة الثاني إلى الثالث . والأول حكمه حكم المال أي موضع وقع من المراتب . والمعادلة في ذلك ضربين :
ضرب يعدل واحد واحدا ، وضرب يعدل اثنان واحدا . فالضرب الذي يعدل واحد واحدا ، مثل أول يعدل ثانيا أو أول يعدل ثالثا أو ثان يعدل ثالثا . الضرب الذي يعدل اثنان واحدا ، مثل أول وثان يعدلان ثالثا أو ثان وثالث يعدلان أولا أو أول وثالث يعدلان ثانيا . وهذا هو الضرب الذي يقع فيه تنصيف الأجذار وهي الوسائط » .
ودون الدخول في التفاصيل التقنية وإذا انتقلنا رأسا إلى معادلات الضرب ( النوع ) الثاني ، فنقول إن ابن الفتح يعالج تلك التي نكتبها الآن على الشكل [ عتيق ، 1988 ] ، حيث نحتفظ بترتيب المؤلف :
ا س ن + 2 + ب س ن + 1 ج س ن ، ب س ن + 1 + ج س ن + ا س ن + 2 ، ا س ن + 2 + ج س ن ب س ن + 1
مع ا ، ب ، ج أعداد موجبة تماما ون عدد طبيعي . ولحل هذه المعادلات يقوم ابن الفتح بردّها ، وهذا باستخدام خواص النسب والتناسب ، إلى معادلات الخوارزمي النموذجية ، الرابعة والسادسة والخامسة على الترتيب ، التي يفرض كيفية حلها معروفة .
نحن نجهل لماذا لم يقدم سنان معادلاته في الترتيب الذي يفضي إلى ترتيب الخوارزمي .
إن ابن الفتح يعالج كذلك معادلات الضرب الأول بحدود مأخوذة من ثلاثة منازل غير متتالية ، مثل س 3 - ا ، س 4 - ا ، س 5 - ا ، ا س 4 - ب س .
ثمّ إن سنانا يعتبر كذلك معادلات الضرب الثاني المحصل عليها بأخذ ثلاث حدود غير متتابعة لكن مع الحفاظ على التناسب . وعلى سبيل المثال فهو ، بهذه الكيفية ، يحصل على المعادلات ثنائية التربيع .
وعلينا هنا أن نشير إلى أن صاحبنا يدرك بوضوح حدود نظريته حول المعادلات ، إذ إنه يذكر أنها لا تطبق إلا على المعادلات من الضرب الأول أو الثاني ، ويقدم عدة أمثلة يتعذر فيها تطبيق هذه النظرية ، مثل المعادلة ج + ب س - اس 3 وسبب ذلك هو أن الحدود 1 ، س ، س 3 غير متناسبة . وبودنا هنا أن نذكر أن المعادلات من الدرجة الثالثة قد حلت هندسيا على يد عمر الخيام ( ت 526 ه / 1131 م ) بواسطة قطوع المخروطات [ راشد وجبار ] .
III
- قسم التطبيقات :
إن سنان بن الفتح يوضح كل اعتباراته بأمثلة ثم إنه ينهي رسالته ببعض التطبيقات .