زاويتا ك د ط ، ط ك د مساويتين للوسط والتعديل يذهب زاوية ط د ك نصف الوسط لأنها على القوس يبقى زاوية د ك م مثل التعايل « 1 » ونصف الوسط وكانت زاوية ب ك ل مثل التعديل ونصف الوسط الذي هو زاوية م ك المساوية لزاوية ك ب ح فزاويتا ب ك ل ، د ك ل ، د ك م متساويتان وكانت نسبة ب ر إلى ر ح أعظم من نسبة زاوية ب ك ل إلى زاوية ح ب ك ونسبة ب ر إلى ر ح نسبة ر ط إلى ط ح ونسبة ب ك ل إلى ح ب ك « 2 » نسبة ب ك م إلى ح د ك فنسبة د ح إلى ط ح أعظم من نسبة زاوية د ك م إلى زاوية ح د ك فيلزم أن يكون نسبة د ح ، ط ح أعظم أيضا من الزاويتين المأخوذتين بالتركيب و : ح ه ك ضعف زاوية د فنسبة زاوية د ك م إلى ك ه ح كنسبة نصف د ك م إلى ك د ح ويقابلها نسبة نصف د ح إلى ح ط ولنجرى « 3 » الأحكام على المقابلة فتكون نسبة نصف د ح إلى ط ح أعظم من نسبة زاوية د ك م إلى ك ه ح فهو أعظم من نسبة سرعة الخارج إلى سرعة الكوكب فليكن ذلك مثل زاوية ح ط ن إلى ح ه ك فقد ظهر أيضا أن لا رجوع هاهنا « 4 » . وليقع خط ل ك ر بدل وقوع خط « 5 » ب ح ر
هامش
( 1 ) في هامش ب : الذي هو زاوية ح ب ك وزاوية ح ر ك المساويتان لزاوية ل ك ب
( 2 ) ف : ب ح ك
( 3 ) ف : ولنجز
( 4 ) برهان نظرية رجوع الكواكب شكل ( 160 ) يشتمل على برهان النظرية في الحالتين - حالة فلك التدوير وحالة الخارج المركز .
ففي هذا الشكل نفرض فلك التدوير مركزه نقطة ه ، ومركز البروج نقطة ر ( للحالة الأولى ) نصل ا ه ر فيقطع الدائرة في نقطة ح حيث :
ه ح / ح ر أكبر من سرعة التدوير / سرعة الكوكب ونرسم القاطع ر ح ب بحيث يكون :
نصف ب ح / ر ح سرعة التدوير / سرعة الكوكب والمطلوب إثبات أن نقطة ح هي موضع وقوف الكوكب وفي نفس الشكل نفرض الدائرة التي مركزها نقطة ه هي الخارج المركز ، وأن ط مركز البروج للحالة الثانية ) نرسم الوتر د ط ح بحيث يكون .
نصف د ح / ط ح - سرعة الخارج / سرعة الكوكب والمطلوب أيضا إثبات أن نقطة ح هي موضع وقوف الكوكب
( 5 ) ( ل ك ر بدل وقوع خط ) : غير موجود في ف نأخذ نقطة ك إلى جانب ح جهة الأوج ب ح أكبر من ب ك وباستخدام مقدمة ( 3 ) نجد :
ب ح / ح ر أكبر من زاوية ح ر ك / زاوية ح ب ك تصف ب ح / ح ر أكبر من زاوية ح ر ك / ضعف زاوية ح ب ك نصف ب ح / ح ر أكبر من زاوية ح ر ك / زاوية ح ه ك لكن زاوية ح ر ك - سرعة التدوير ، وزاوية ح ه ك - سرعة الكوكب نصف ب ح / ح ر أكبر من سرعة التدوير / سرعة الكوكب لذلك نأخذ زاوية ح ر ن أكبر من زاوية ح ر ك بحيث يكون نصف ب ح / ح ر - زاوية ح ر ن / زاوية ح ه ك يكون الكوكب في نفس الفترة قد تحرك في الحقيقة ناحية المغرب زاوية ك ر ح بينما تحرك فلك التدوير إلى المشرق زاوية مقدارها ح ر ن - ك ر ح - ك ر ن لا يوجد رجوع في هذا الموقع أما في حالة الخارج المركز فنجد من العلاقة :
ب ح / ح ر أكبر من زاوية ح ر ك / زاوية ح ب ك أن ب ح + ح ر / ح ر أكبر من زاوية ح ر ك + ح ب ك / ح ب ك ب ر / ح ر أكبر من زاوية ب ك ل / زاوية ح ب ك لكن زاوية ب ك ل - د ك م ، ولأن زاوية ب ك ل خارجة عن المثلث ر ب ك ب ك ل - ح ب ك + ح ر ك لكن زاوية ح ب ك - 2 / 1 ح ه ك - 2 / 1 زاوية الوسط وزاوية ح ر ك - التعديل زاوية ر ب ك - التعديل + 2 / 1 الوسط وكذلك زاوية ح ط ك أكبر من ح ه ك أي أكبر من التعديل دائما وزاوية ح ط ك - التعديل + الوسط لكن ح ط ك خارجة عن المثلث ط د ك ح ط ك ط د ك + ط ك د ط د ك + ط ك د - التعديل + الوسط لكن زاوية ط د ك المحيطية - 2 / 1 ح ه ك - 2 / 1 الوسط زاوية ط د ك - التعديل + 2 / 1 الوسط وهي د ك م زاوية ب ك ل - د ك م ب ر / ح ر أكبر من زاوية د ك م / زاوية ح ب ك أي أكبر من زاوية د ك م / زاوية ح د ك لكن ب ر / ر ح - د ح / ط ح د ح / ط ح أكبر من زاوية د ك م / زاوية ح د ك نصف د ح / ط ح ) زاوية د ك م / ضعف ح د ك أي أكبر من زاوية د ك م / زاوية ح ه ك نصف د ح / ط ح أكبر من سرعة الخارج / سرعة الكوكب نأخذ نقطة ن ناحية الأوج زاوية ح ط ن أكبر من ح ط ك أكبر من د ك م ويمكن أن نختار نقطة ن بحيث نصف د ح / ط ح - زاوية ح ط ن / ح ه ك نجد أيضا أنه لا يوجد رجوع في هذا الموقع