زاوية ر د أالمتبادلتان وزاوية د مشتركة بين مثلثى م د ن ، ك ط د « 1 » وهما متناسبا الأضلاع المحيطة بالزاوية لأجل مناسبة أضلاع ب ر د لأضلاعهما « 2 » ولأجل « 3 » تساوى الزوايا المتبادلة وتناسب الأضلاع المحيطة بها فإن نسبة ب وإلى د ر ك : د ك « 4 » إلى د ط و : د ن إلى م د « 5 » لما فرضنا أن نسبة ب ر إلى د ك وإلى د ن مثل نسبة د ب إلى ط ك وإلى م ن ونسبة د ر إلى د ظ وإلى د م « 6 » فيصير الزوايا المتناظرة من الثلاثة « 7 » متساوية فزوايا « 8 » ر د ب ، د ط ك ، د م ن « 9 » متساوية فخطوط « 10 » ب د ، م ن ، ط ك « 11 » متوازية فتصير زوايا أد ب ، ح ك ط ، ل ن م « 12 » متساوية فالقسى « 13 » متشابهة وحينئذ يكون الكوكب مرتبا على خط واحد لا يختلف في الرؤية « 14 » وهو د م ر ط وذلك عندما يكون الكوكب على ط و : م و : ر و « 15 » والنسبة
هامش
( 1 ) سا : م د ر ، ر ل ط - وفي د : ب د ر ، ل ط د
( 2 ) سا ، د : [ أضلاعهما أضلاع ب ر د ] بدلا من [ أضلاع ب ر د أضلاعهما ]
( 3 ) سا ، د : لأجل
( 4 ) سا : [ و : د ل ]
( 5 ) [ و : د ن إلى م د ] : غير موجود في سا - وفي د : [ و : د ر إلى ح ر ]
( 6 ) ( وإلى د ن مثل نسبة د ب إلى ط ل وإلى م ن ونسبة د ر إلى د ط وإلى د م ] : غير موجود في سا ويوجد بدلا عن ذلك [ مثل نسبة د ا إلى ا ط ونسبة د ر إلى د ا ]
( 7 ) سا : الثلاث
( 8 ) سا : فزاويتا
( 9 ) سا : ر د ب ، د ط ل ، د م ر
( 10 ) سا : بخطوط
( 11 ) سا : ب د ، م ر ، ط ل
( 12 ) ف : ا د ب ، ح ل ط ، ل ر م - وفي سا : ا د ب ، ح ط ل ، ل ر م
( 13 ) سا : والقسي
( 14 ) ف ، سا ، د : الزاوية
( 15 ) برهان نظرية ( 25 ) في حالة اعتبار أن نصف قطر التدوير / البعد بين مركز العالم ومركز الخارج - نصف قطر البروج / نصف قطر الخارج لنفرض ا ب ح البروج أو الموافق وليكن مركزه د ( شكل 57 ) ، ر ه التدوير مركزه ب ، ح ط الخارج إذا كان أكبر من البروج ومركزه ك ، ل م الخارج إذا كان أصغر من البروج ومركزه ن .
المفروض أن مركز التدوير سار من ا إلى ب وأن الكوكب تحرك من ه إلى ر والمفروض أيضا أن ب ر / ل د - ب د / ط ل وأن ب ر / ن د - ب د / م ن