وأقول « 1 » إن زاويتى ج ه ر ، ج ح ب « 2 » مساويتان « 3 » لضعف د ه ر الكائنة من نصف النهار لأن زاويتى د ه ر ، د ح ب اللتين من تقاطع فلك البروج ونصف النهار على نقطة واحدة متساويتان وزاوية د ه ح مثل زاوية د ح ج فزاويتا د ه ح ، ج ح ب « 4 » مثل زاوية د ه ر فإذا أضيفتا « 5 » إلى د ه ر حتى صار ج ه ر ، ج ح ب « 6 » كان ضعف د ه ر « 7 » . « ك » ولنضع النقطتين شماليتين عن نقطة ج كما في الشكل
هامش
( 1 ) د : فأقول .
( 2 ) سا ، د : ح ح ب .
( 3 ) سا : متساويتان .
( 4 ) د : ح ح ب .
( 5 ) سا ، د : أضيفت .
( 6 ) د : ح ح ب .
( 7 ) نظرية ( 21 ) : إذا كان ا ب ح د نصف النهار ، ه إحدى نقط البروج ناحية الشرق ، ا ه ر موضع البروج في تلك اللحظة ، ح نفس النقطة ناحية الغرب بحيث تكون الزاويتان الساعبتان ه د ح ، ح د ح متساويتان ، وكان ب ح ط موضع البروج في اللحظة الثانية . وإذا كانت نقطتا ا ، ب معا إلى الشمال أو الجنوب من سمت الرأس ح فإن :
( ا ) القوس ح ح - القوس ح ه .
( ب ) ح ه ر + ح ح ب - 2 د ه ر ( إذا كانت ا ب جنوبيتان ) ( ح ) ل ح ب + ل ه ر - 2 د ه ر ( إذا كانت ا ، ب شماليتان ) البرهان : ( ا ) في المثلثين ح د ه ، ح د ح ( شكل 45 ، 46 ) :
د ه - د ح ، ه د ح - ح د ح ، ح د مشترك ينطبق المثلثان وينتج أن ح ه - ح ح وهو المطلوب أولا ( ب ) في شكل ( 45 ) حيث النقطتان ا ، ب معا إلى الجنوب من سمت الرأس .
د ه ر - د ح ب ، د ه ح - د ح ح من تساوى المثلثين .