نسبة ط ى ه ز مثل نسبة ه وه ز ، على ما رتبنا ، وكان ما هو أعظم من ه ومثل ه ز ، فإذن يقع داخلا مثل ج ، فنقول إن نسبة ه وه ج هي النسبة الأخرى وإلا فلتقع ل ه ح مع ه ط أو مع ه ك ولفرض المحال المذكور . ولا تحسب أنا أوردنا برهانا جزئيا لذكرنا نسبتي النصف والثلث ونسبة الضعف ، بل نحب أن تعلم أن هذا برهان كلى ، وإنما هو سبيلنا للتفهيم . . وإلا فلك أن تقول إن عدد ى أب أج عددان جزريان وبينهما نسبة ما وقد ألفت في هذا المثال من نسبتي أب أد ، أد أج أى نسبة كانت بأن وقع عدد بينهما أنقص من أحدهما وأزيد من الأخر ، ثم يأتي البرهان على الوجه الكلى من غير إشارة إلى تعيين النسبة . فهذا البيان يكفى مؤونة التكلف في إقامة البرهان على تأليف نسبة من نسبتين في الأعداد ، وإذا وجدنا الأمثلة نخرج ذينك النسبتين « 1 » في تعليمنا الموسيقى بعد هذا الفن ، لكننا نتكلف بيانات خاصة لنسب ما هي كالرؤوس لسائر النسب ، من ذلك أما نقول إن نسبة الضعف ونسبة الزائد نصفا « 2 » يتألف عنها نسبة الثلاثة الأمثال ، فلتكن أح ضعف أب ، ولتكن أد مثل ونصف أج ، أقول إن أد ثلاثة أمثال أب ؛ برهان ذلك أن أح ضعف أب ف ب ح مثل أب ، فهو نصف أح لكن ح د نصف أح ف أب ، ب ح ، ح د يساوى بعضها بعضا ، فيكون جميع أد ثلاثة أمثال أب ، فإن كان ح د ثلث أح ف أد ضعف وثلث أب ، فلنقسم أح أثلاثا على ه ، ز فيكون أه مثل ج د وهو ثلث أح الذي هو ضعف أب ، فنصف أه ثلث أب ف أه ثلثا أب ف أد مثل ضعف أب أعنى أح ومثل ثلثه أعنى ج د ، فإن كان نسبة أج أب نسبة الزائد نصفا ونسبة أد أج نسبة الزائد ثلثا فنسبة أد أب الضعف ، لنقسم أب نصفين على ه فيكون أه ب ح د أه مثل ب ، ح ويكون أقسام أه ه ب ب ح متساوية وهي ثلاثة ود ج مثل أح ثلاثة أقسام أج فالأقسام الأربعة متساوية فجملة ب د مثل جملة أب وزيادة أح على أب بالمثل ، فإن كانت نسبة أح أب نسبة الزائد ثلثا ونسبة أد ا ح نسبة الزائد ثمنا ، فإن نسبة ا د ا ب نسبة الزائد نصفا .
فلنقسم ا ب أثلاثا على ز ، ه فيكون أقسام ا ز ز ه ه ب ب ج متساوية وهي أربعة ، ونصف كل واحد منها هو ثمن ا ج وهو مساو ل ح د ليكون ب د ثلاثة أمثال ح د ، ا ب ستة أمثال ح د ويكون ب د : د ح ، وهو نسبة مثل ونصف ونسبة
هامش
( 1 ) في الأعداد وإذا وجدنا الأمثلة تخرج ذينك النسبتين : ساقطة في ( سا ) .
( 2 ) الزائد نصفا : الزائد جزءا ( ب ) .