العموميّة في طريقة هذا الحساب . فقد برهنوا أنّ هذه الطريقة تقضي ببناء متتاليتَيْن وَمتجاورتَيْن - حيث لكل
n -
وتتقاربان نحو النهاية نفسها وهي ؛ وهما متتاليتان يمكن أن تُعاد كتابتهما على الشكل التالي
. . .
و
ولاحظوا أنّهم يستطيعون بواسطة هذه الطريقة بلوغ أيّة درجة من الدقّة : " من الممكن أن يوصل بهذا الوجه بعينه إلى أيّة غاية يُراد بها من التدقيق في هذا العمل " « 1 » . وحدّدوا المساحة الخارجيّة للكرة ، بطريقة مماثلة لتلك التي طُبِّقت في حالة مساحة الدائرة .
تابع معاصرو بني موسى وخلفاؤهم بنشاط البحث في هذا المجال . فلم يكتفِ الماهاني بشرح كتاب أرخميدس " في الكرة والأسطوانة " ، بل تطرّق لتحديد مساحة قطعة القطع المكافىء . ولكنّ هذا النص للماهاني لم يصل إلى عصرنا .
وأسهم ثابت بن قرّة ، الذي كان يتعاون مع بني موسى ، بكثافة في هذا الفصل . فقد وضع على التوالي ثلاث رسائل خُصِّصت الأولى منها لمساحة قطعة من القطع المكافىء ، والثانية لحجم المجسّم المكافىء الدوراني ، والثالثة لقطوع الأسطوانة ومساحتها الجانبيّة .
في المقال الأولى ، ولتحديد مساحة قطعة من القطع المكافىء ، يبدأ ثابت بن بن قرّة الذي كان يجهل بحث أرخميدس في هذا الموضوع ، ببرهان إحدى وعشرين قضيّة ، إحدى عشرة منها حسابيّة . يدل فحص هذه المقدّمات على أنّ ثابت بن قرّة كان على علم أكيد ودقيق بمفهوم الحد الأعلى لمجموعة من الأعداد الحقيقيّة المربّعة ، وبوحدانيّة هذا الحدّ الأعلى . فقد استخدم لتمييز الحد الأعلى ، الخاصيّة التالية :
" لتكن
ABC
قطعة من قطع مكافىء و
AD
قطرها المقابل ل -
BC [
الشكل التالي ] . يمكننا لكلّ عددٍ معطى ، ، أن نقوم بالتجزئة
A
،
G 1
،
G 2
، . . . ،
Gn
،
D
، للقطر
AD
، بحيث نحصل على :
مساحة
BAC -
مساحة المضلّع
BEn - 1
. . .
E 2 E 1 AF 1 F 2
. . .
Fn - 1 C
،
أي ، وبلغة أخرى ، أنّ مساحة
BAC
هي الحد الأعلى لمساحات هذه المضلّعات .
هامش
( 1 ) أنظر المصدر المذكور أعلاه :Archimede dans les mathematiQues arabes .