خارجي 180 درجه كه يك نوك تيز آن بر نقطهء وديگر نوك آن بر نقطهء متقاطر بر روى اين كره قرار مىگرفت ، مشاهده مىشد . ولى از آنجا كه ماه بدون پستى وبلندى نيست ( ارتفاع تعداد زيادى از قلّههاى ماه به بيش از 6 هزار متر مىرسد وبلندترين آنها در حدود 7900 متر ارتفاع دارد ) ، لذا نوك تيز لبه هلال ماه در اين تصوير از نقطهء به نقطهء تغيير مكان مىدهد وسطح واقع بر مثلث كروى قائم الزاويهء
Qpo
غير قابل رؤيت مىماند .
كمان
QP
به صورت يك پارامتر ، به نام كمان كسرى
) deficiency arc (
توسط دانژن ناميده شده است . البتة اين كمان كسرى به معناى ميزاني كه كمان خارجي هلال ماه كوچكتر ديده مىشود نيست بلكه جمع شدن وباريكتر شدن هلال است . محاسبهء اندازهء اين كمان از طريق به كارگيرى روابط نپر در مثلث كروى قائم الزاويهء
Qpo
ميسر مىشود ، مىتوان نوشت :
( ) اگر كمان كسرى را ، اندازهء قوس خارجي هلال 2 وفاصلهء زاويهاى ماه وخورشيد ( با احتساب اختلاف منظر ماه ) باشد ، رابطهء فوق به صورت زير حاصل مىشود :
( رابطه 1 )
sin a - sin a cos w
دانژن با گردآورى نتايج بيش از 50 رصد ، اندازهء كمان كسرى را با استفاده از اين فرمول محاسبه ونتايج آن را در سال 1936 منتشر كرد . « 1 » اين نتايج در دياگرام شكل ( 4 ) آمده است . از اين دياگرام ملاحظه مىشود كه وقتي كه فاصلهء زاويهاى ماه وخورشيد ، از 40 درجه بيشتر مىشود ، اندازهء كمان منفى است ، اين بدان معنى است كه سطح بيشترى از كرهء ماه در مقايسه با سطح كاملا كروى ماه ، رؤيت شده واندازهء قوس خارجي هلال از 180 درجه اندكى بيشتر مىشود .
امّا در فاصلههاى زاويهاى كمتر از 40 درجه ، اندازهء به تدريج افزايش مىيابد تا جايى كه در فاصلهء زاويهاى 7 درجهاى ، اندازهء كمان كسرى نيز 7 درجه مىشود كه با استفاده از رابطهء ( 1 ) ، نتيجة مىشود كه اندازهء زاويهاى 2 برابر صفر درجه است . لذا هيچ هلالي قابل رؤيت نيست . در فاصلهء زاويهاى 7 درجه وكمتر ، تمام سطح روشن ماه توسط ارتفاعات آن از چشم زمينيان پوشيده مىماند ولذا رؤيت هلال ممكن نيست . در نتيجة ، رؤيت هلال ماه نو فقط به عمر سپرىشدهء آن از لحظهء محاق آن بستگى نداشته بلكه تابع
هامش
( 1 )ibid.