ب ط ل « 1 » بل « 2 » زاوية ر ط ه « 3 » المقاطعة « 4 » « 5 » لها « ى » وأيضا ليكن أب ج من فلك البروج و : ب منقلب فنقول إن القوسين المتساويتين « 6 » في البعد منه مثل « 7 » ب ه ، ب د فالزاويتان الشرقيتان من جهة واحدة الواقعتان « 8 » عليهما من دائرة « 9 » نصف « 10 » النهار مساويتان « 11 » لقائمتين كزاويتى ر د ب ، ر ه ج « 12 » لأن ر ه ج « 13 » مساوية مع ر ه ب لقائمتين وزاويتا ر ه ب ، ر د ب متساويتان « 14 » لأنهما يوتران قوس « 15 » ر د ، ر ه « 16 » وهما متساويتان « 17 » لأنهما من القطب إلى نقطتين متساويتى
هامش
( 1 ) سا : ل ط ، ب ل - وفي د : ب ط ر ب - وفي ف : ل ب ط
( 2 ) سا : غير موجود .
( 3 ) د : ر ط .
( 4 ) سا : وهي المقاطعة .
( 5 ) نظرية ( 14 ) عند عبور نقطتين من دائرة البروج متساويتى البعد عن إحدى نقطتى الاعتدالين تكون الزاوية بين دائرة البروج ونصف النهار واحدة في الحالتين ( مع مراعاة قياس الزاويتين في اتجاه واحد ) .
البرهان : في شكل ( 34 ) ا ب ح معدل للنهار ، د ب ه البروج حيث ب نقطة الإعتدال نأخذ نقطتى ح ، ط على البروج بحيث يكون ب ح - ب ط فإذا كان ر هو قطب معدل النهار فإن دائرة ر ل ح هي نصف النهار عند عبور نقطة ح ودائرة ر ط ل هي نصف النهار عند عبور نقطة ط والمطلوب إثبات أن ر ح ب - ر ط ه حيث أن نقطتى ح ، ط متساويتى البعد عن نقطة الاعتدال .
ميلاهما متساويان ومطالعهما متساويان ل ح - ط ل ، ل ب - ل ب في المثلثين ل ح ب ، ل ط ب : ل ح - ط ل ، ل ب - ل ب ، ب ح - ب ط ( فرضا ) .
المثلثان متساويان وينتج أن ل ح ب - ل ط ب - ر ط ه وهو المطلوب .
( 6 ) سا ، د : المتساويين .
( 7 ) سا : غير موجود .
( 8 ) د : الواقعان .
( 9 ) سا ، د : دائرتين .
( 10 ) سا ، د : لنصف .
( 11 ) د : متساويتان .
( 12 ) ف : ر د ب ، د ه ح - وفي سا ، د : ر د ب ، ر ه ح .
( 13 ) سا ، د : ر ه ح .
( 14 ) سا : متساويتان لأن ح ر ه متساويتان - وفي د : متساويتان لأن د ر ه متساويتان .
( 15 ) سا ، د : قوس .
( 16 ) سا : د ه .
( 17 ) [ يوتران قوسي ر د ، ر ه وهما متساويتان ] : في هامش ب - وفي سا ، د : متساويان نظرية ( 15 ) عند عبور نقطتين من دائرة البروج متساويتى البعد عن إحدى نقطتى الإنقلابين فإن مجموع الزاويتين بين البروج ونصف النهار يكون 180 ( مع مراعاة قياس الزاويتين في اتجاه واحد ) .
البرهان في شكل ( 35 ) ليكن ا ب ح دائرة البروج ونقطة ب إحدى نقطتى الإنقلابين ولنأخذ نقطتى د ، ه على البروج على بعدين متساويين من نقطة ب أي أن ب د - ب ه - ولنفرض أن ر قطب معدل النهار فيكون ر د نصف النهار عند عبور نقطة د ، ر ه نصف النهار عند عبور نقطة ه وتكون زاويتا التقاطع ( مع مراعاة الاتجاه ) هما ر د ه ، ر ه ح .
والمطلوب إثبات أن ر د ه + ر ه ح - 180 حيث أن نقطتى د ، ه متساويتى البعد عن نقطة الانقلاب .
ميلاهما متساويان . ر د - ر ه - 90 - الميل في المثلثين ر د ب ، ر ه ب : ر د - ر ه ، ب د - ب ه ، ر ب مشترك .
ينطبق المثلثان وينتج أن ر د ب - ر ه ب لكن ر ه ب - 180 - ر ه ح ر د ب + ر ه ح - 180 وهو المطلوب