و
2 a / 3
كه به ترتيب مقدار كمينهء صفر و مقدار بيشينهء
f ( 2 a / 3 ) - c
را به دست مىدهند .
ازسوىديگر ، معادلهء
f ( x ) - 0
داراى ريشهء مضاعف
? 1 - 0
و ريشهء سادهء
? 2 - a
است . طوسى نتيجه مىگيرد كه اگر ،
cc
، آنگاه معادلهء
x 3 G c - ax 2
دو ريشهء مثبت
x 1
و
x 2
دارد كه در بين ريشههاى معادلهء
f ( x ) - 0
و در دو سوى ريشهء معادلهء
f ' ( x ) - 0
قرار دارند . در مورد معادلات ديگر نيز نحوهء استدلال طوسى بههمينصورت صورت است .
دستاورد مهم ديگر طوسى حل عددى معادلات درجهء سوم است . وى روشى را كه پيش از آن براى استخراج كعب ( يعنى حل عددى معادلهء
x 3 - c
) به كار مىرفت ، و امروزه به روش روفينى - هورنر معروف است ، به معادلات درجهء سوم چندجملهاى تعميم مىدهد و از راه تقريبهاى متوالى ريشهء تقريبى اين نوع معادلات را به دست مىآورد .
جبر پس از شرف الدّين طوسى
آثار مكتب كرجى ، خيام و شرف الدّين طوسى اوج سنّت جبرى در عالم اسلام است و پس از ايشان ، اين علم پيشرفت چندانى در جهان اسلام نداشت . با اين حال ، از اشاراتى در بعضى از منابع معلوم مىشود كه برخى از رياضيدانان كار شرف الدّين طوسى را مىشناختهاند . كوشش براى حل برخى از معادلات درجهء سوم به كمك راديكالها نمونهاى ديگر از زنده بودن سنّت جبرى است و نيز وجود آثارى چون مفتاح الحساب غياث الدّين جمشيد كاشانى ( اتمام تأليف در 830 ) نشانهء آشنايى عميق مؤلف با سنّت جبرى كرجى است . قواعدى كه كاشانى براى جمع و تفريق چندجملهاىها و ضرب يك جملهاىها در يكديگر و چندجملهاىها در يكديگر و تقسيم چندجملهاىها بر يك جملهاىها به دست مىدهد ، همان قواعدى است كه در آثار كرجى و سموأل ديده مىشود . در