- إقامة جداول مثلّثاتيّة : القِيَم الصحيحة والقِيَم التقريبيّة
. . .
تمّت إعادة عددٍ من حسابات الأوتار إلى معادلاتٍ جبريّة ، تربيعيّة مثل حساب وتر القوس البالغ 36 ؛ الذي أعاده البيروني إلى حلِّ المعادلة - أو إلى معادلات من الدرجة الثالثة ، وهي معادلاتٌ حاول الرياضيّون العرب حلَّها إمّا جبريّاً وإمّا هندسيّاً ، وإمّا بالقيم التقريبيّة . فالبيروني ، على سبيل المثال ، في الكتاب الثالث من " القانون المسعودي " ، وهو الكتاب المخصّص لعلم المثلّثات المستوي والكروي ، يبرهن أنّ النسبة هي حلٌّ للمعادلة ، وأنّ هي حلٌّ للمعادلة .
ويعطي البيروني ، في هذا المؤلّف الذي كُتِب بعد إقامته في الهند ، جدولًا للجيوب بدقّةٍ لم تبلغها في هذه الحقبة الحسابات المثلّثاتيّة . يستخدم في هذا الجدول مختلف صيغ الاستكمال التربيعي ذات الأصل الهندي ، ومنها الصيغة الموجودة في مؤلَّف ال - " خندخادياكا "
Khandakh
خ
dyaka
لِبراهماغوبتا ؛ ولقد كان على معرفةٍ أكيدةٍ بهذا المؤلّف الذي غالباً ما ذكره في العديد من كتاباته . لم يكتف البيروني بإعطاء طرائق الاستكمال لهذه الدالّة المثلّثاتيّة أو تلك ، بل عمّم هذه الطرائق على كلِّ الدالّات ، وجهد في إقامة البراهين عليها ، كما قارن بينها « 1 » . وتابع أعمالَه السموأل ( القرن الثاني عشر ) والكاشي ( القرن الخامس عشر للميلاد ) وهو أحد آخر وجوه العلم في الإسلام ، وقد كان مديرا لمرصد سمرقند في عهد أولوغ بك . وفي نصٍّ لم نعرفه إلّا من خلال شرحٍ للجداول الفلكيّة لأولوغ بك ، يبرهن الكاشي أنّ هو حلٌّ للمعادلة ، وهي معادلة يعطي لها حلًّا تقريبيّاً بدراسة نهاية المتتالية .
وعلى العكس أيضا ، يمكن استخدام جداول الجيوب أو الأوتار لتحديد قِيَمٍ تقريبيّةٍ لبعض المعادلات التكعيبيّة . فالخيّام ( 1048 - حوالي 1131 م ) على سبيل المثال ، في رسالته " في قسمة ربع الدائرة " ، يعيد المسألة المطروحة إلى معادلةٍ من الدرجة الثالثة ( ) ويعطي لها حلًّا هندسيّاً عن طريق تقاطع نصف - دائرة وقطعٍ زائد ، ثمَّ يلحظ ما يلي : " ومن أراد أن يَعلَم بالحساب فلا سبيل له إليه إذا حاول التحقيق ، فإنّ الأشياء التي تُستَخرج بقطوع المخروطات لا يمكن فيها أن يُحلّل إلى الحساب ، وإن قَنع بالتخمين ، فعليه بجداول الأوتار من كتاب المجسطي ، أو جداول الجيوب والسهام من زيج مُعتَمَد . . . " « 2 » .
هامش
( 1 ) - راجع :R . Rashed ,«Al - Samawal , al - Bگr؛nگet Brahmagupta : les methodes dinterpolation»Arabic Sciences an Philosophy , vol . 1 , n1 , mars 1991 , pp . 101 - 160 .( 2 ) - راجع :R . Rashed B . Vahabzadeh , Al - Khayyعm mathematicien , Blanchard , Paris , 1999 , p . 266 .نُقِل هذا الكتاب إلى العربيّة تحت عنوان : " رياضيّات عمر الخيّام " ، تأليف رشدي راشد وبيجان وهاب زاده ، مركز دراسات الوحدة العربيّة ، بيروت 2005 ؛ ترجمة نقولا فارس ( " فريق الدراسة والبحث في التراث العلمي العربي " ) ؛ أنظر ص . 246 .