عِبر إعداده أوّل نظريّة في الأعداد المتحابّة . وهذا الأمر ، الذي عرفه المؤرّخون منذ القرن التاسع عشر بفضل أعمال ف . وبكيه « 1 »
( F . Woepcke )
، لم يأخذ معناه الحقيقي إلّا منذ فترة وجيزة ، عندما أثبتنا وجود تقليد كامل ، بدأ مع ثابت بن قرّة بأسلوب أقليدسي خالص ، ليَصِلَ ، بعد عدّة قرون ، إلى الفارسي ( المتوفى عام 719 ه - / 1319 م ) بفضل تطبيق الجبر على دراسة أولى الدالّات الحسابيّة الابتدائيّة . ونذكر من بين أعلام هذا التقليد ، أسماء الكرابيسي ، والأنطاكي ، والقبيصي ، وأبو الوفاء البوزجاني ، والبغدادي ، وابن الهيثم ، وابن هود ، والكرجي . . . . ولا يمكننا أن ندّعي ، في الصفحات المخصّصة لهذه النظريّة ، تفصيل هذا العرض . لذا سنحاول بما أمكن من البساطة ، رسم معالم هذه الحركة التي ذكرنا .
. . .
في نهاية الكتاب التاسع من " الأصول " ، أعطى أقليدس نظريّة في الأعداد التامّة وبرهن أنّ العدد
n
ذا الشكل ، هو عددٌ تام أي أنّه يساوي حاصل جمع قواسمه الفعليّة « 2 » في حال كان عدداً أوّليّاً ؛ غير أنّه لم يأتِ على ذكر نظريّة الأعداد المتحابّة . قرّر ثابت بن قرّة ، إذاً ، بناء هذه النظريّة ؛ فنصّ وبرهن ، بأسلوب أقليدسي خالص ، المبرهنة الأهم ، إلى الآن ، في الأعداد المتحابّة ، والتي تحمل اليوم اسمه .
ليكن حاصل جمع القواسم الفعليّة لعدد صحيح
n (
أو " الأجزاء القاسمة " ل -
n )
وحاصل جمع قواسم
n
؛ ولنذكّر أنّ عددَيْن صحيحَيْن
a
و
b
، يُقال لهما متحابَّان في حال كون و .
مبرهنة ابن قرّة :
" نأخذ عدداً طبيعيّاً
n
، ، ونضع و ؛ إذا كانت ، وأعداداً أوّليّة ، عندها يكون العددان ومتحابَّيْن " .
وقد أعطى ثابت أحد الأمثلة عن ثنائيّات الأعداد المتحابّة ، وهو الثنائيّ ( 220 و 284 ) . ومع علماء الجبر بشكل خاصّ ، بدأ البحث عن ثنائيّات أخرى من الأعداد المتحابّة غير تلك التي أعطاها ابن قرّة ، أي ( 220 ، 284 ) . هكذا ، نجد عند الفارسي في الشرق ، وفي وسط ابن البنّاء في الغرب ، وعند التنوخي وكذلك عند علماء آخرين في القرن السابع ه - / الثالث عشر للميلاد ، الثنائيّ ( 17296 ، 18416 ) المنسوب إلى فيرما . وفيما بعد قام اليَزدي بحساب الثنائيّ المسمّى ثنائيّ ديكارت ( 9363584 ، 9437056 ) .
وألّف الفيزيائيّ والرياضيّ الشهير كمال الدين الفارسي ( المتوفّى عام 719 ه - / 1319 م ) بحثاً قصد
هامش
( 1 ) يوجز وبكيه رسالة ابن قرّة في هذا المقال التالي :F . Woepcke , " Notice sur une theorie ajoutee par Thعbit Ben Qorrah a larithmetiQue speculative des Grecs " , JA , IV , 2 ( 1852 ) , pp . 420 - 429 .( 2 ) أي كل القواسم ما عدا العدد نفسه .