زوج الزوج ، وهو الذي وقع الضرب في ضعفه إلّا واحد حتى خرج ستّة . ( شحس ، 32 ، 15 ) عدد تعليمي - العدد التعليمي هو المقارب للمادة لكنه قد جرّد عنها . ( كتع ، 199 ، 14 ) عدد زائد وناقص - أما العدد الزائد والناقص . . . يكون خروج التام والناقص والزائد امتحان وقع لبعض الناس ، وهو أن كل زوج ضرب في عدد أول كيف كان ، بعد أن يكون زوج الزوج أكبر من نصف ذلك الأول بنصف ، فإن المجتمع منه أبدا عدد تام مثل الاثنين في الثلاثة والأربعة في السبعة ، فإن كان أكثر من نصفه بأكثر من نصف واحد فالمجتمع زائد ، وإن كان أقلّ من نصفه كيف كان فالعدد ناقص ؛ مثال الأول الأربعة في الخمسة ، ومثال الثاني الأربعة في التسعة وفي الأحد عشر . وكل عدد من الأعداد التامة ضرب في عدد أول لا يعد ذلك العدد الأول ذلك العدد التام إذ حدث عدد زائد على جميع أجزائه بضعف العدد التام مثل الستّة إذا ضربت في سبعة فحدث اثنان وأربعون ، له من الأجزاء النصف وهو واحد وعشرون ، والثلث وهو أربعة عشر ، والسدس وهو سبعة ، والسبع هو ستة ، والجزء من أربعة عشر وهو ثلاثة ، والجزء من أحد وعشرين وهو اثنان ، والجزء من اثنين وأربعين وهو واحد ، وجميع ذلك أربعة وخمسين وهو يزيد على اثنين وأربعين بإثنا عشر وهو ضعف ستّة . ( شحس ، 32 ، 21 ) عدد زوج - العدد الزوج هو المنقسم بمتساويين . ( شأه ، 211 ، 7 ) - أما العدد الزوج . . . إنك تجد مجموع مراتبها مساويا لمربّع عددها مركّبا إليه ضلعه ، مثل أنك إذا ابتدأت من الاثنين وأضفت إليه الأربعة كانت ستة ، وهو مثل مربّع عدد المراتب ، ومثل أنك إذا ابتدأت من الاثنين فأضفت إليه الأربعة والستّة كان اثني عشر ، وهو مثل مربّع الثلاثة ومثل ضلعه . ومن خواصها أن كل زوج يزيد على الأول من الأفراد بواحد ، فإن ذلك الزوج مساو لمجموع أجزاء مربّع ذلك الأول ، مثل الأربعة فإنها تزيد على الفرد الأول وهو الثلاثة بواحد ، ومربّع الثلاثة تسعة ، ولهما من الأجزاء جزآن تسع وثلث ، ومجموعهما مساو للأربعة ، وأيضا الستّة تزيد على الفرد الأول بواحد وذلك الفرد الأول خمسة ، ومربّع الفرد الأول خمسة وعشرون ، وله من الأجزاء خمس وخمس خمس لا غير ومبلغه ستّة ، فإن كان الزوج بحيث إذا نقص منه ثلاثة بقي فرد أول ، فإن ذلك الزوج مركّب من أجزاء ضعف ذلك الفرد مثل الثمانية فإنها إذا نقص منها ثلاثة بقي خمسة وضعفها عشرة ولها نصف وخمس وعشر ، مجموع ذلك ثمانية ، أعني مجموع الخمسة والاثنين