برهان آن را به نقل عبارت جامع بهادرى اكتفا مىكنيم ، در برهان قضيهء نخستين گويد : هر دو خط كه واقع شود بر آن خطى ديگر ، و دو زاويه متبادله از زواياى حادثه داخله متساوى باشند ، لامحاله آن دو خط متوازى باشند ؛ چنانچه بر دو خط - ا ب ، ح د - خط - ه ر - واقع شد ، و دو زاويه - ح ر ه - ب ه ر - متبادلتين متساوىاند ، گوييم كه دو خط - ا ب ، ح د - متوازى باشند ؛ چه اگر ميان آنها توازى ثابت نباشد پس در جهتى بعد از اخراج ملاقى شوند ، مثلا در جهت - ب د - بر نقطه - ح - ، و در اين حال مثلث - ه ر ح - پيدا مىشود ، و يكى از دو متبادله كه زاويه - ح ر ه - است از آن مثلث خارج واقع شده است ، و ديگرى كه - ب ه ر - است به مقابله آن داخل واقع گشته ، و اين داخله و خارجه متساوىاند ، و اين معنى به حكم شكل يه محال است ، پس دو خط - ا ب ، ح د - اصلا ملاقى نشوند لهذا متوازى باشند . ( شكل شمارهء 9 ) بيان : آنكه فرموده است : « به حكم شكل يه محال است » شكل 15 آن در اين قضيه هندسى است كه هرگاه ضلع مثلثى اخراج شود زاويه خارج از مثلث كه به سبب اخراج ضلع مفروض حادث شده است بزرگتر از هر يك از دو زاويه مقابل او در داخل مثلث است . و اين خود شكل يو مقاله اولاى اصول است كه : كل مثلّث أخرج أحد أضلاعه ، فالزاوية الخارجة الحادثة أعظم من كلّ واحدة من مقابلتيها الداخلتين ، إلخ .