اما آنكه گفته‌ايم چهار زاويه معادل با 360 درجه است بدين جهت است كه هرگاه محلّ تقاطع خطين را كه رأس زواياى چهارگانه است ، مركز دائره‌اى قرار دهيم و به بعد هر يك از چهار خط حادث شده بعد از تقاطع ، و يا اطول و يا اقصر از آن دائره‌اى چون دائره - و ر ح - رسم كنيم ، قوس مقابل هر يك از آن زوايا مقدّر آن خواهد بود ، زيرا كه زواياى مركزىاند ؛ لاجرم مجموع قسّى مقدّر چهار زاويه يك دائره كامل - و ر ح - مثلا خواهد بود . و آنكه گفته‌ايم دو زاويه متقابل برأس مساوى يكديگرند ، برهانش اينكه : زاويه - ا ب ه + زاويه ا ب د 2 قائمه - ، و همچنين زاويه - د ب ح + زاويه د ب ا 2 قائمه - ، و زاويه ا ب د - مشترك بين آن دو است پس بعد از القاى زاويه مشترك ، زاويه - ا ب ه - و زاويه - د ب ح - با هم متساوى خواهند بود . و على هذا القياس آن دو زاويه متقابل برأس ديگر كه - ا ب د ، ه ب ح - بوده باشند . يعنى زاويه - ا ب د + ا ب ه 180 و ا ب ه + ه ب ح 180 پس بعد از القاء ا ب ه مشترك ، ا ب د ه ب ح . و به وجهى ديگر هرگاه توهّم دوران خط - ا ب ح - مثلا بشود كه با خط - ب ه - منطبق گردد ، در همين مقدار دوران خط - ا ب - خط - ب ح - نيز با خط - ب د - منطبق خواهد شد ، پس دو زاويه - ا ب ه ، د ب ح - با هم مساوى خواهند بود . ب ) هرگاه خط مستقيمى بر دو خط مستقيم ديگر واقع شود ، يعنى آن دو را قطع كند كه دو زاويه متبادله از زواياى پديد آمده متساوى باشند ، آن دو خط مستقيم متوازى خواهند بود . اين قضيهء هندسى شكل 27 مقاله نخستين اصول اقليدس است ( كر من اولى الاصول ) و عبارت آن به تحرير خواجه طوسى اين است : كلّ خطّين وقع عليهما خطّ ، و كانت المتبادلتان من الزوايا الحادثة متساويتين فهما متوازيان ، إلخ . و نيز هرگاه دو خط مستقيمى ، خط مستقيم ديگر بر آن دو واقع شود - يعنى آن دو را قطع كند - كه زاويه خارج از زواياى حادث مساوى با زاويه داخل مقابل خود بوده باشد ؛ يا دو زاويه داخله در يك جهت معادل دو قائمه باشند ، باز آن دو