گويند و چهار ديگر را كه بيرون آندواند زواياى خارجه و دو زاويه - ح ر ه ، ب ه ر - را متبادله داخله گويند و مساوى با يكديگرند . و همچنين دو زاويه - ا ه ر ، د ر ه - را متبادله داخله گويند و مساوى با يكديگرند . و دو زاويه - ا ه ح ، د ر ط - را متبادله خارجه گويند ، و مساوى با يكديگرند . و همچنين دو زاويه - ح ر ط ، ب ه ح - را متبادله خارجه گويند و متساوى با يكديگرند . خط - ح ط - را كه واقع بر دو خط - ا ب ، ح د - است قاطع گويند . و دو زاويه داخل و خارج در يك جانب قاطع را متناظر يكديگر نامند ، يعنى زاويه - ا ه ح - با زاويه - ح ر ح - متناظر است ، و زاويه - ا ه ر - با زاويه - ح ر ط - . و على هذا القياس زاويه - ح ه ب - با زاويه - ه ر د - و زاويه - ب ه ر - با زاويه - د ر ط - . برهان آن را به نقل عبارت جامع بهادرى اكتفا مىكنيم ، در برهان قضيه نخستين گويد : هر دو خط كه واقع شود بر آن خطى ديگر ، و دو زاويه متبادله از زواياى حادثه داخله متساوى باشند ، لا محاله آن دو خط متوازى باشند ؛ چنانچه بر دو خط - ا ب ، ح د - خط - ه ر - واقع شد ، و دو زاويه - ح ر ه ، ب ه ر - متبادلين متساوىاند ، گوييم كه دو خط - ا ب ، ح د - متوازى باشند ، چه اگر ميان آنها توازى ثابت نباشد پس در جهتى بعد اخراج ملاقى شوند ، مثلا در جهت - ب د - بر نقطه - ح - و در اين حال مثلث - ه ر ح - پيدا مىشود ، و يكى از دو متبادله كه زاويه - ح ر ه - است از آن مثلث خارج واقع شده است ، و ديگرى كه - ب ه ر - است به مقابله آن داخل واقع گشته ، و اين داخله و خارجه متساوىاند ، و اين معنى به حكم شكل « يه » محال است ،