أيضاً استُبعدت قيمة الميل المشكوك فيها والعائدة للعام 828 ، بالارتباط على الأرجح مع وسيط آخر هو خط العرض . 4 - استخدام آخر للأرصاد . أبصر النور ، مع ممارسة الأرصاد المتواصلة والمنهجية ، حدث جديد وهو يتمثل في إمكانية إخضاع هذه الأرصاد لمعالجةٍ رياضية . وهناك مثال يستطيع أن يبيِّن لنا كيف أمكَن إدراجُ بعض نتائج الأرصاد في مسار استدلالٍ رياضي معقد للغاية ، حول واحدة من أصعب المسائل في علم الفلك القديم ، وهي مسألة رؤية هلال القمر ، التي عالجها في القرن التاسع عالم كبير في الرياضيات ، عمل بعد فترة بسيطة من مرحلة النشاط الأوّل في الرصد في بغداد ودمشق . فقد انكبّ ثابت بن قرّة ، مثله مثل غالبية علماء الفلك ، على حساب الرؤية المحتملة لهلال القمر على الأفق الغربي ، مباشرة بعد غروب الشمس في مساء اليوم التاسع والعشرين من الشهر القمري . وهذه المسألة لم تُعالج في علم الفلك العائد إلى التقليد الهلّنستي ، لكنّ بعض الطرق الهندية كانت قد نُقلت إلى العربية منذ نهاية القرن الثامن . هذه المسألة صعبة للغاية نظراً لعدد الوسائط التي تتضمنها . وقد وضع ثابتُ بن قرّة مؤلّفين في هذا الموضوع ، أحدهما نظري بحت ، والآخر تطبيقي ، أكثر اختصاراً من الأوّل ، يسمح بتطبيقٍ مبسط لطريقته العامة عن طريق اللجوء إلى الجداول ( راجع : Th ع bit , Traites 6 et 7 ) . ولمعالجة هذه المسألة ، يطبق ثابت في حالة القمر الطريقة التي أعدّها بطلميوس لدراسة رؤية النجوم الثابتة والكواكب على الأفق بعد غروب الشمس . تتضمن هذه الطريقة حساب قوس الرؤية لكوكب معين ، أي القيمة الحدّية لقوس انحطاط الشمس تحت الأفق بعد غروب الشمس ، وهي القيمة التي يكون فيها الكوكب موضوع الدرس على حدّ الرؤية على الأفق . أجرى بطلميوس قياس القيم المختلفة لهذا القوس بالنسبة إلى الكواكب والنجوم الثابتة . كانت مسألة قوس الرؤية لهلال القمر موضوع دراسة ثابت بن قرة ؛ لكنّ هذه المسألة في حالة القمر هي على درجة شديدة التعقيد بالمقارنة مع حالة الكواكب الأخرى ؛ فهذه القوس لا تملك قيمة ثابتة ، لأنّ ضيائية الهلال تتعلق بالمسافة الزاويّة بين القمر والشمس . لذا تمثّلت طريقة ثابت بن قرة بالسعي لإيجاد نسبةٍ كميةٍ بين ضيائية الهلال وضيائية السماء على الأفق . يحدِّد ثابت أربعة متغيرات . المتغيرات الثلاثة الأساسية أقواسٌ هي أضلاع مثلثٍ قائم الزاوية كروي ، قممه الثلاث هي : الشمس تحت الأفق ، والقمر على الأفق ، ونقطة سقوط العمود المسقط من الشمس على الأفق . لنسمِّ . . . هذه الأقواس .