الظلال ، قاعدة الكميّات الأربع ، مبرهنة الجيوب " ولازماتها ) ويشير إلى أهميّة مقدّمة ثابت بن قرّة « 1 » . يُظهر تنوّع الصيغ التي حلّت محل مبرهنة مينِلاوس وبراهين هذه الصيغ ، أنّ علماء الرياضيّات هؤلاء توصّلوا إلى نتائجهم ، على ما يبدو ، بطريقة مستقلّة بعضهم عن البعض الآخر . لكلِّ هذه الصيغ ، التي تتكافأ بشكلٍ متفاوت ، رابطٌ مشتركٌ وهو أنّها تتجنّب في صياغتها اللجوء إلى النسبة المركّبة ، مع أنّ هذه النسبة تَدخُل في براهينها . فضلًا عن ذلك ، فإنّ الشكل الأساسي في هذه الصيغ لم يعد المضلّع الرباعي التام إنّما المثلّث الكروي ( وبشكلٍ خاص المثلّث الكروي قائم الزاوية ) ، وهو شكلٌ أبسط استخداماً من المربّع التامّ . - نصير الدين الطوسي والمثلّث القطبي على أثر هذه الأعمال ، وبدءاً من نهاية القرن العاشر ، أخذت حسابات تحديد المثلّثات الكرويّة تَحِلُّ تدريجيّاً ، محلّ التوسّع في مبرهنة مينِلاوس . فقد أكمَلَ الطوسي في الكتاب الخامس من مؤلّفه " كتاب رباعيّ الأضلاع " ، عملَ البيروني الذي لم يحلّ في مؤلّفه " مقاليد علم الهيئة " ، سوى المثلّثات قائمة الزاوية ، وحالتين هما حالة المثلّث المعطى بزاويتين وضلع ، وحالة المثلّث المعطى بضلعين وزاوية . يحلُّ الطوسي كلًّا من هاتين الحالتين بطريقتين : في الطريقة الأولى ، وكما فعل البيروني ، يُعيد المسألة إلى تحديد مثلّث قائم الزاوية ، وذلك بعد أن يرسم الارتفاع المنطلق من أحد رؤوس المثلّث ؛ وفي الطريقة الثانية يُدخِل قطِبيّ « 2 » أحد الرؤوس ويُكمِل المضلّع الرباعي . وقام الطوسي بحلّ الحالة الثالثة من حالات المثلّث ( عندما يكون معطىً بأضلاعه الثلاثة ) بالطريقة الثانية وحدها ( بإدخال قطبِيّ أحد الرؤوس ) . الحالة الأخيرة ( حيث الزوايا الثلاث للمثلّث معروفة ) هي الأكثر اهميّة : يحدّد الطوسي ، كما أبو نصر بن عراق « 3 » ، المثلّث القطبي LMN للمثلّث ABC ( أضلاع المثلّث LMN هي قطبيّات الرؤوس A ، B وَ C ) ويبرهن أنّه إذا كانت الزوايا في أحد المثلّثين معروفة ، تكون الأضلاع في المثلّث الآخر معروفة كذلك ، معيداً بهذا تحديد أضلاع المثلّث ABC ، ذي الزوايا المعروفة ، إلى تحديد زوايا المثلّث LMN ذي الأضلاع المعروفة . وهذا هو الاستخدام الوحيد المعروف ، في العالم العربي ، للمثلّث القطبي . 4 - 4 . مبرهنة الجيوب في المستوي . ممّا تقدّم نرى أنّ تاريخ اكتشاف مبرهنة الجيوب على الكرة معروف جيّداً ؛ ولكنّ الأمر مختلف بالنسبة إلى مبرهنة الجيوب في المستوي التي من الصعب إعادة رسم ظهورها . كلُّ المؤشّرات تُشير إلى أنّ اكتشاف مبرهنة الجيوب على الكرة هو الذي أوحى بنصِّ صيغتها المستوية تحت الشكل المثلّثاتي كما نعرفه اليوم . وعلى حدّ علمنا كان أبو نصر بن عراق ، أوّلَ من أعطى ، بالشكل المثلّثاتي ، نصَّ هذه

--> ( 1 ) - راجع : A . Caratheodory , Le traite du quadrilatere attribue a Nassiruddin - el - Toussy , Constantinople , 1891 , reed . Sezgin , 1998 , p . 70 . ( 2 ) - " Polaire d'un point " ( المترجِم ) . ( 3 ) - م . ت . دوبارنو ، " البيروني ، كتاب مقاليد علم الهيئة " ، ص . 192 ، الملاحظة 1 ، المذكور سابقاً .