. . . يُتبع ابن عراق هذه المبرهنة ، بلازمتَيْ القضيّتين 1 وَ 2 ، ويبرهن أنّ كلَّ مسائل " المجسطي " يمكن حلّها بفضل هذه الصيغ الجديدة . - إسهام أبي الوفاء البوزجاني يبرهن أبو الوفاء البوزجاني أيضاً ، في مؤلّفه " المجسطي " ، بعض القضايا : القضيّة 4 : ( أو " قاعدة الكميّات الأربع " ) : إنّ نسبة جيوب الأقواس تساوي نسبة جيوب انحناءاتها الأولى . هذه القاعدة ليست سوى صيغة مختلفة لمقدّمة ثابت بن قرّة ، لا يَدخُل فيها سوى أقواس من دوائر كبرى للكرة وجيوب هذه الأقواس ، تتناسب مع مفردات علماء الفلك وتتلاءم دون شك ، بشكلٍ أفضل مع الحسابات الفلكيّة . القضيّة 5 : ( أو " قاعدة الظلال " ) : إذا كانت ABDC وَ AGEC دائرتين كبريَين من الكرة ، بحيث يكون ZBG وَ ZDE قوسين من دائرتين كبريين عموديّتين على AGEC ، يكون : . هذه القاعدة ، التي تكرّس الدخول النهائي للظل في الحسابات الفلكيّة ، انتقدها معاصران لأبي الوفاء هما الخُجَندي وَكوشيار ، وهما عالما الفلك من مدينة رأي ، اللذان اعترضا بسبب عدم صحّة استخدام الظل في جوار الزاوية القائمة بسبب الزيادة السريعة جدّاً في الفروقات الجدوليّة ، في هذه الحالة « 1 » . بعد ذلك ، يبرهن أبو الوفاء " مبرهنة الجيوب على الكرة " ، أوّلٍاً للمثلّث قائم الزاوية ( بواسطة القضيّة 4 ) ، ثمّ لأيِّ مثلّث كان . - إسهام أبي محمود الخُجَندي يعطي أبو محمود الخُجَندي ، مستخدماً قضيّة النيريزي ، لقاعدة الكميّات الأربع برهاناً أطول من برهان أبي الوفاء . نُشير أخيراً إلى أنّ نصير الدين الطوسي ( 1201 - 1274 م ) يستعيد في الكتاب الخامس من مؤلّفه " كتاب رباعيّ الأضلاع " ، وهو تركيبٌ واسعٌ للمؤلّفات السابقة ، مختلف هذه الصيغ مع براهينها ، ( " قاعدة

--> ( 1 ) - م . ت . دوبارنو ، فصل " علم المثلّثات " ، في المرجع المذكور أعلاه : M . T . Debarnot , « Trigonometrie » Histoire des sciences arabes , vol . II , pp . 163 - 198 .