خصائصها ويبرهنها . ويُطلِق ، مستوحياً نموذج كتاب " المخروطات " لأبولونيوس ، نظريّة الأسطوانة وقطوعها المستوية : يستبدل الخطوط المستقيمة الصادرة من الرأس بخطوطٍ موازية لمولّدة الأسطوانة ؛ ( هذا الأمر يعود تماماً إلى اعتبار الأسطوانة مخروطاً رأسه في اللا نهاية في أحد الاتجاهين . ومن ثمّ يبرهن أنّ قطع هذه الأسطوانة بسطحٍ مستوٍ يعطي إمّا دائرةً ( عند كون المستوي موازٍ للقاعدة أو موازٍ عكسيّاً لها ) وإمّا قطعاً ناقصاً ( في الحالات الأخرى ) . ويحدّد تشابه قطعين ناقصين بتناسب المحورين المتقابلين في كلّ منهما ؛ وبعد ذلك يبرهن أنّ القطعين المستويين لاسطوانتين لهما قاعدتين دائريّتين ولهما المحور نفسه والارتفاع عينه ، بأي سطح مستوٍ ، هما متحاكيان : مركز التحاكي هو مركز القطعين المشترك الموجود على المحور ، ونسبة التحاكي هي نسبة قطري دائرتي قاعدتي الأسطوانتين . ويبرهن ثابت أخيراً أنّ القطع الناقص الذي محوره الكبير 2 - AC ومحوره الصغير b 2 هو صورة للدائرة التي قطرها AC ، بالتحويل الأفّيني العمودي الذي محوره AC ونسبته b / a ؛ من هذه الخاصيّة ، يستنتج مساحة القطع الناقص ومساحة القِطَع الإهليلجيّة . ويناقش القطوع القصوى ، الأعظم والأدنى ، للأسطوانة ، ويحدّد مساحة الجزء من سطح الأسطوانة المحصور بين قطعين مستويين . ويعطي أيضاً قضيّة تتعلّق بنسب محيطات القطوع الناقصة المتشابهة ، وهذه القضيّة أوّل مبرهنة تعالج محيط القطوع الناقصة . في أعقاب أعمال ثابت ، قام حفيده ابن سنان ( 909 - 946 م ) ، بتأليف رسالة بعنوان " في مساحة القطع المكافىء " « 1 » ، يُدخِل فيها بشكلٍ رئيسيّ ، مفهوم التحويل الأفّيني الذي استخدمه ثابت . يرتكز ابن سنان في تحديده لمساحة قطعة من القطع المكافىء ، على كون كلِّ تحويلٍ أفّيني تقابلي يحوِّلُ قطعةً من قطعٍ مكافىء إلى قطعةٍ من قطعٍ مكافىء تكون قاعدته صورة القاعدة ورأسه صورة الرأس ، ويحافظ على تناسب مساحات المضلّعات وقطعات القطع المكافىء . ولئن كانت التحويلات الأفّينيّة ( التحاكيات ، والانسحابات ، والتشابهات المستوية ، وتغيير المجاهيل من النوع x - k . x ، إلخ . ) تدخل غالباً في مؤلّف ابن سنان ، فإنّ رسالته " في قياس القطع المكافىء " يبقى المؤلّف الوحيد حيث يُعطى ، بالطريقة الأعم ، تحديد تحويل أفّيني أيٍّ كان . وندين لابن سنان ذاته ، برسالة حول بناء للقطوع المخروطيّة الثلاثة بالنقاط « 2 » ، لا يتحدّث فيها عن الأدوات التي تُستخدَم في الرسم المتّصل لهذه المنحنيات ، رغم معرفته بها ، ويستخدِم فيها بشكل واسع التحويلات النُقَطِيّة . يستعيد ابن سنان في هذه الرسالة النتائج التي حقّقها جَدّه ثابت ، ويُعطي بناءً بالنقاط للقطع الناقص ، انطلاقاً من دائرته الأساسيّة بتحويلٍ أفّيني عمودي . ويُعطي كذلك البناء بالنقاط لقطعٍ مكافىءٍ ولقطعٍ زائدٍ انطلاقاً من دائرة ( في حالة القطع الزائد ، يكون هذا القَطع صورةً لدائرةٍ

--> ( 1 ) - ر . راشد ، R . Rashed , Mathematiques infinitesimales , vol . I , p . 695 - 736 . . ( 2 ) - ر . راشد وإ . بلّوستا ، R . Rashed et H . Bellosta , Ibn Sin و n : Logique et geometrie au xe siecle , pp . 263 - 290 . .