قابليّة بناء المخروطات في المستوي بقدر ما هدفت إلى حل مسألة اتّصالها . وتُفصح هذه الدراسات عن إرادة لدى علماء الرياضيّات بإضفاء الشرعيّة على البناءات بواسطة تقاطع القطوع المخروطيّة من أجل حلّ المسائل المجسّمة ، ومنحها الوضع عينه للبناءات بواسطة المسطرة والبركار التي تُستخدم في حلّ المسائل المستوية . وهذه الإرادة ستقود علماء الرياضيّات ( وخاصّة ابن الهيثم ) إلى هذه المِنطقة المشتركة بين الرياضيّات والفلسفة ، وهي التمييز بين بناء كائن رياضي وبين برهان وجوده . وقد أثار مؤلّف " المخروطات " أفكاراً أخرى في مجال الفلسفة لدى علماء الرياضيّات ، حيث اهتم السزجي مثلًا ، في نهاية القرن العاشر ، بطابع لانهائيّة الخط المقارب لقطع زائد وعمل على بناء هذه الخاصيّة للخط المقارب على قواعد صلبة . 3 . استخدام التحويلات 3 - 1 . الإسقاطات أخذ تطوّر علم الفلك ، منذ بداية القرن التاسع للميلاد ، يرسم اتجاهاتٍ جديدةً للبحوث في الرياضيّات . ولحلِّ المسائل المطروحة من قِبَل علماء الفلك ، اضطُرَّ علماء الرياضيّات لتطبيق نظريّاتهم على كائناتٍ جديدة ، وحتى لتطوير عددٍ من النظريّات الجديدة . فقد شهد ذلك القرن تزايد الطلب على بناء الأسطرلابات ممّا أدّى إلى ولادة مهنةٍ عُرِفت بمهنة " الأسطرلابي " ، وظهرت الحاجة للحصول على تمثيلٍ صحيحٍ للكرة السماويّة على سطحٍ مستوٍ ؛ هذه الحاجة دفعت إلى مضاعفة الأبحاث حول الإسقاطات . وُجد مفهوم الإسقاط التجسيمي عند بطلميوس ؛ إلّا أنّ الرياضيّين العرب ( الكندي وبني موسى في القرن التاسع ، وابن سنان والسِزجي وخصوصاً ابن سهل والقوهي في القرن العاشر للميلاد ) أطلقوا نظريّة أولى في إسقاطات الكرة على السطح المستوي ، وفي الإسقاطات الأسطوانيّة ذات المحاور أيّاً كانت ، وفي الإسقاطات المخروطيّة انطلاقاً من نقطة ما . هذه النظريّة الرياضيّة الجديدة ، التي وُلِدت من احتياجات علم الفلك ، تطوّرت سريعاً بمعزلٍ عن بناء الأسطرلاب . وأصبحت الإسقاطات بحدّ ذاتها موضوع دراسةٍ وحقل أبحاث ، فاتحةً بذلك فصلًا جديداً من الهندسة غير الهلّينستيّة . 3 - 2 . التحويلات الأفّينيّة تُعتَبر رسالة ثابت بن قرّة ، " في قطوع الأسطوانة وبسيطها " « 1 » ، عملًا في السياق المزدوج ل - " مخروطات " أبولونيوس ولرسالة مفقودة خصّصها أحمد بن موسى للقطع الناقص ( يُحدّد فيها هذا القطع ، دون شك ، بواسطة خاصيّة البؤرتين ، ويحسب مساحته ) . في هذا المؤلّف ، يُدخِل ثابت للمرّة الأولى تحويلاتٍ هندسيّةً نقطيّة ( إسقاطات أسطوانيّة ، وأفّينيّات متعامدة ، وتحاكيات ) ويستخدم بعض

--> ( 1 ) - ر . راشد ، R . Rashed , Mathematiques infinitesimales , vol . I , p . 458 - 674 . .