تعود طريقة ابن الهيثم إلى دراسة الأشكال الهلاليّة المحصورة بين أقواسٍ أيّاً كانت ، بحثاً عن تكافؤ بين المساحات . فهو يُدْخِل بشكل عام ، دوائر مكافئة لقطاعات من دائرة معطاة في المسألة ومُعَبَّر عنها بكسورٍ من هذه الدائرة . ويبرّر وجود الدوائر التي يُدْخِلُها ، والتي كان عليه إضافتها إلى المساحات المضلّعة أو طرحها منها ، للحصول على مساحة مكافئة لمساحة الهلال أو لمجموع هلالَيْن . يستعيد ابن الهيثم مسألة تربيع الأشكال الهلاليّة من أساسها ، وينقلها إلى مجال علم المثلّثات ، ويحاول أن يستنتج مختلف الحالات كخصائص لدالّة مثلّثاتيّة يستعيدها أولر ( Euler ) فيما بعد ، بمزيد من الدقّة . منذ بداية رسالته " في الأشكال الهلاليّة " * « 1 » ، يعترف ابن الهيثم صراحة بأنّ حساب مساحات الأهلّة يستدعي جمع أو طرح مساحات قطاعات من دائرة ، ويُدْخِل مثلّثات تقتضي مقارنتُها مقارنةَ نِسَب الزوايا ونِسَب القطع المستقيمة . لهذا السبب ، يبدأ بإثبات أربع مقدّمات تعود للمثلّث ABC ، قائم الزاوية B في المقدّمة الأولى ، ومنفرجها في الحالات الثلاث الأخرى . هذه المقدّمات تبرهن أنّ النقطة الأساس في الدراسة تعود إلى دراسة الدالّة حيث . تُعاد كتابة هذه المقدّمات على الشكل التالي : . . . ( 1 ) إذا كان ، يكون ؛ وبديهيٌّ أنّه في حال ، يكون . ( 2 ) ليكن ؛ إذا كان ، يكون . ( 3 ) إذا كان ، يكون . ( 4 ) هنا يريد ابن الهيثم دراسة الحالة ؛ ولكنّ دراسته غير كاملة . فيبرهن أنّنا ، لكلِّ A معطى ، نستطيع أن نجد بحيث يكون

--> ( 1 ) * أنظر المرجع المذكور سابقاً : Voir R . Rashed , Les MathematiQues infinitesimales aux Xe - XIe s . Vol . 3 .