الإهليلج [ القطع الناقص ] تعادل مساحة الدائرة التي يعادلُ مربعُ نصف قطرها حاصل ضرب أحد محاور هذا الإهليلج بالآخر " ، أي أنّها تعادل ، حيث a و b هما محورا القطع الناقص . وقد تابع خلفاء ابن قرّة إسهامه بنشاط ، ومنهم حفيده إبراهيم بن سنان . لم يعِش عالِم الرياضيّات النابغة هذا سوى ثمانية وثلاثين عاماً ؛ ولم يرغب ، كما عبّر بصراحة ، أنْ يكون للماهاني دراسةً أكثر تطوراً من دراسة جدّه ، دون أن يذهب أحدُ أفراد عائلته إلى أبعد مما ذهب الماهاني إليه . يريد ابن سنان إذاً أن يعطي برهاناً ، لا يكون فقط أقصر من برهان جدّه الذي احتاج إلى عشرين مقدّمة ، كما رأينا ، إنّما أيضاً أقصر من برهان الماهاني . والقضيّة التي ارتكز عليها برهان إبراهيم بن سنان ، والتي اهتمّ بإيجاد برهانها أوّلًا ، هي ، بتعبير عصريّ ، أنّ التحويل الأفّيني لا يؤثّر في تناسب المساحات . في القرن الرابع ه - / العاشر للميلاد ، استعاد عام الرياضيّات العلاء بن سهل « 1 » تربيع القطع المكافىء ، إلّا أنّ مؤلّفه ، مع الأسف ، لم يزل مفقوداً . أمّا معاصره القوهي فاكتشف مجدّداً طريقة أرخميدس ، عندما تطرّق إلى تحديد حجم المجسّم المكافىء الدوراني ، . واستعاد ابن الهيثم ، الرياضيّ والفيزيائيّ الشهير ، وهو خليفة ابن سهل والقوهي « 2 » ، برهان حجم المجسّم المكافىء الدوراني ، وكذلك البرهان المتعلّق بالحجم المولَّد من دوران قطع مكافىء حول خط الترتيب . ولنلقِ نظرة سريعةً إلى هذا الصنف الثاني من القياس ، الأصعب من الأوّل . يبدأ ابن الهيثم ، للتوصّل إلى تحديد هذا الحجم ، ببرهان بعض المقدّمات الحسابيّة : مجاميع القوى ل - n من الأعداد الطبيعيّة المتتاليةً ، وذلك من أجل إقامة متباينة مزدوجة ، أساسيّة لدراسته . وخلال عمله هذا ، يحصل على نتائج شكّلت حدثاً تاريخيّاً في علم الحساب ، نذكرمنها ، بشكل خاصّ تلك التي تحسب مجموع أيّة قوّة طبيعيّة لأوّل n أعداد طبيعيّة متتالية : . . . ، حيث ، ويثبت بعد ذلك ، المتباينة التالية : ليكن الآن المجسّم المكافىء المولَّد من دوران القطعة ABC من القطع المكافىء ذي المعادلة ، حول خط الترتيب BC . ولنأخذ التقسيم ، حيث ، للفسحة حيث الخطوة h تساوي : .

--> ( 1 ) ر . راشد ، " الهندسة وعلم المناظر في القرن العاشر ، ابن سهل ، القوهي وابن الهيثم " ، ترجمة د . شكرالله الشالوحي - مركز دراسات الوحدة العربيّة ، بيروت 1996 . R . Rashed , DioptriQue et geometie au Xe siecle : Ibn Sahl , al - Quhi et Ibn al - Haytham ، Les Belles Lettres , Paris 1993 . ( 2 ) ر . راشد ، المرجع نفسه ، و Ibn al - Haytham et la mesure du parabolo ل de ، في " مجلّة تاريخ العلوم العربيّة " ، 5 ( 1982 ) ، ص . 191 - 262 .