. . . للمعادلات التي يمكن حلّها بواسطة الجذور * « 1 » ، يُمكِن أن تُرجَعَ إليها مسائل علمَي الحساب والهندسة على السواء ؛ ويُمكن بالتالي استخدام هذه النظريّة في مسائل الحساب ، والتبادلات التجاريّة ، والتركات ، ومسح الأراضي ، . . . إلخ . يستهلّ الخوارزمي ، القسم الأوّل من كتابه ، بتحديد ما نسمّيه اليوم " التعابير الأوّليّة " لنظريّته ؛ وقد اقتصرت هذه النظريّة على معادلات الدرجتين الأولى والثانية ، وذلك انسجاماً مع متطلّبات الحل بواسطة الجذور ومع مستوى معارف الخوارزمي في هذا المجال . وهذه التعابير الأوّليّة هي : المجهول ( الذي مهما كان نوعه ، يسمّيه الخوارزميّ " الجذر " أو " الشئ " ) ، ومربّعه ( أي مربّع المجهول ، ويسمّيه " المال " ) ، والأعداد المُنطَقة الموجِبة ، وقوانين التركيب في علم الحساب ( + ، و - ، وو / ، و ، و * « 2 » * ) والمساواة . ومن ثمّ يُدخِل الخوارزمي مفاهيم : معادلة الدرجة الأولى ، ومعادلة الدرجة الثانية ، وثنائيّات الحدود وثلاثيّاتها الملازمة لهذه المعادلات ، والشكل الطبيعي للمعادلة * « 3 » * * ، والحلول الألغوريتميّة ، وبرهان صيغة الحل . ويَظهَر مفهوم المعادلة في كتاب الخوارزمي ليَدُلَّ على فئة لانهائيّة من المسائل ، لا كما يظهر عند البابليين مثلًا ، في سياق حل هذه المسألة أو تلك . ومن جهة ثانية ، لم تُوجَد المعادلات في مجرى حلّ المسائل المطروحة ، كما عند البابليين أو عند ديوفنطس ، إنّما عُرِضت منذ البدء ، انطلاقاً من تعابير أوّليّة ، تَنتُج من توافيقها كلُّ الأشكال الممكنة للمعادلة . فبعد إدخاله التعابير الأوّليّة مباشرة ، يُعطي الخوارزمي الأصناف الستّة التالية للمعادلات : bx / c ، ax 2 / bx ، ax 2 / c ، ax 2 / bx G c ، ax 2 G c / bx ، ax 2 G bx / c . ومن ثمّ يُدخِل ما نسمّيه اليوم مفهوم الشكل الطبيعي للمعادلة ، فارضاً تحويلَ كلِّ معادَلة من المعادلات السابقة إلى الشكل الطبيعي الموافق ، حيث تأخذ المعادلات ثلاثيّات الحدود الأشكال التالية : ( 1 ) x 2 / px G q ، x 2 G q / px ، x 2 G px / q . وينتقل الخوارزمي بعد ذلك إلى تحديد الصيغ الألغوريتميّة للحلول . يُبَرهِن الخوارزمي أيضاً مختلف صيغ الحلول ، لا جبريّاً ، إنّما بواسطة مفهوم تساوي المساحات . وفي هذا المجال ، من المحتمل أن يكون قد استوحى معرفةً قريبة العهد ب - " أصول " أقليدس ، التي قام بترجمتها إلى العربيّة زميله في " بيت الحكمة " ، الحجّاج بن مطر . يباشر الخوارزمي بعد ذلك دراسة قصيرة لبعض خصائص تطبيق القوانين الابتدائيّة لعلم الحساب على التعابير الجبريّة الأبسط ، فيدرس ضرب العوامل من النوع ( a bx ) . ( c dx ) حيث + a , b , c , d . لكي ندرك بشكل أفضل الفكرة التي كان يكوّنها الخوارزمي عن هذا الحقل العلمي الجديد ومدى

--> ( 1 ) * أي التي يُمكبن حلُّها عن طريق إيجاد قيمة جذورها ( المترجِم ) . ( 2 ) * * المقصود هنا ، قوانين الجمع والطرح والضرب والقسمة واستخراج الجذر التربيعي ، لا الإشارات التي ترمز إليها والتي لم تدخل إلّا مؤخّراً ، في حدود القرن السابع عشر ( المترجِم ) . ( 3 ) * * * نقول اليوم أيضاً : الشكل " المُنتظِم " أو " القانوني " ( canoniQue ) للمعادلة ( المترجِم ) .