گزارش تاريخى خيام نشان مىدهد كه چگونه در اثر پيدايش علم جبر ، مسائلى كه پيش از آن مستقيما از راه جستجوى مقاطع مخروطى مناسب و تقاطع آنها حل مىشد ، اكنون نخست به زبان معادلات ترجمه مىشد و سپس با كاوش در اين معادلات كوشش مىشد كه يك‌راه هندسى براى حل آنها يافت شود . با اين حال ، اين كوشش‌ها ، چنان‌كه خيام گفته است ، تنها به معادلات خاصى ، آن هم با ضريب عددى خاص منجر مىشد . كار خيام نقطهء تلاقى اين كوشش‌ها و سنّت جبرى خوارزمى است . وى همان كارى را كه خوارزمى دربارهء معادلات از درجهء كوچك‌تر يا مساوى با دو كرده بود ، براى معادلات با درجهء كوچك‌تر يا مساوى با سه انجام مىدهد ، و با در نظر گرفتن كليهء تركيب‌هاى ممكن x ( كه وى آن را گاهى شىء و گاهى جذر و گاهى ضلع مىنامد ) و x 2 و x 3 ( كه وى آن را « مكعب » مىنامد ) به دو نوع طبقه‌بندى اين معادلات مىرسد . خيام در فى قسمة ربع الدائرة معادلات را برحسب درجهء آنها تقسيم مىكند ، و به اين ترتيب به سه دسته معادله مىرسد : 1 ) معادلات درجهء اوّل و دوم ، اين‌ها همان شش معادلهء خوارزمىاند و خيام مىگويد كه حل اين معادلات با استفاده از « مقالهء دوم » ( يعنى مقالهء دوم اصول اقليدس ) ممكن مىشود ، « چنان‌كه در كتاب‌هاى جبريان آمده است » . از اين عبارت پيداست كه وى راه‌حل‌هاى هندسى خود را براى معادلات درجهء دوم ( كه بعدا در رسالهء الجبر و المقابلة شرح خواهد داد ) با راه‌حل‌هاى الگوريتمى جبريان معادل مىداند . 2 ) معادلات درجهء سوم دوجمله‌اى ( مفردات ) كه عبارت‌اند از : x 3 - ax 2 كه به معادلهء درجهء اول x - a تبديل مىشود ، و x 3 - ax كه به معادله درجهء دوم x 2 - a تبديل مىشود ، و x 3 - a كه حل آن به طريق عددى و از راه استخراج ريشهء سوم و